Установи соответствие между номером и буквой и взаимное расположении прямой и окружности, если:
1. R=16cм, d=12см
2. R=5см, d=4,2см
3. R=7,2дм, d=3,7дм
4. R=8 см, d=1,2дм
5. R=5 см, d=50мм
а) прямая и окружность не имеют общих точек;
б) прямая является касательной к окружности;
в) прямая пересекает окружность.
d-расстояние от центра окружности до прямой, R- радиус окружности.

Жирным шрифтом обозначены вектора, скалярные величины обозначены обычными шрифтом.

Пусть есть три некомпланарных вектора a b c, являющиеся "боковыми" ребрами тетраэдра из условия задачи (в том смысле, что все три имеют общее начало в вершине).

Попарные векторные произведения этих векторов дают векторы, перпендикулярные граням. Поскольку все грани равны, то эти векторные произведения имеют одинаковую абсолютную величину - удвоенную площадь грани. Приняв эту удвоенную площадь грани за единицу измерения площади (это никак не ограничивает общность), можно считать нормальные вектора cxb = n₁; bxa = n₂; axc = n₃; единичными векторами.

Я выбрал порядок в произведениях векторов так, чтобы они "торчали" наружу пирамиды. Уже сейчас стоит обратить внимание, что в этом случае двугранные углы при ребрах составляют 180° в сумме с углами между так выбранными нормалями. Поэтому косинусы углов будут равны по величине, но противоположного знака.

Осталась еще четвертая грань. её ребрам соответствуют вектора a₁ = b - c; b₁ = c - a ; c₁ = a - b; причем длины векторов a₁ = a; b₁ = b; c₁ = c; так как четвертая грань равна трем "боковым". Если теперь построить нормальный вектор аналогично трем предыдущим (то есть так, чтобы он смотрел наружу тетраэдра), то

n₄ = - (с - a)x(b - c) = - bxa - cxb - axc = -(n₁ + n₂ + n₃);

или n₁ + n₂ + n₃ + n₄ = 0; (что само по себе - абсолютно замечательный результат).

пусть Σ = n₁n₂ + n₁n₃ + n₁n₄ + n₂n₃ + n₂n₄ + n₃n₄; сумма всех скалярных произведений между нормалями. Для того, чтобы доказать утверждение в задаче, нужно показать, что Σ = - 2; (каждое из произведений равно "минус косинус" угла при ребре между парами граней, заданных нормалями; я напомню, что все нормальные вектора - единичные, то есть равны 1 по модулю)

Я слегка переписываю это выражение Σ  = n₁n₂ + n₁n₃ + n₂n₃ + (n₁ + n₂ + n₃)n₄ = n₁n₂ + n₁n₃ + n₂n₃ - n₄n₄ = n₁n₂ + n₁n₃ + n₂n₃ - 1;

Однако все грани тетраэдра равноценны, и аналогично можно записать

Σ  = n₂n₃ + n₂n₄ + n₃n₄ - 1;

Σ  = n₃n₄ + n₃n₁ + n₄n₁ - 1;

Σ  = n₁n₂ + n₁n₄ + n₂n₄ - 1;

Если сложить все четыре равенства, то получится

4Σ  = 2(n₁n₂ + n₁n₃ + n₁n₄ + n₂n₃ + n₂n₄ + n₃n₄) - 4;

4Σ = 2Σ - 4; Σ = -2 чтд. :)

В правильной четырехугольной пирамиде МАВСД боковое ребро равно 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов . Найти: 1) S боковой поверхности 2) V пирамиды 3) угол между противоположными боковыми гранями 4) V описанного около пирамиды шара 5) угол между боковым ребром АМ и плоскостью ДМС

Объяснение:

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Основание данной пирамиды - квадрат.  

Её высота МО- катет, противолежащий углу 60º в прямоугольного треугольника с гипотенузой 8 см.

МО=МВ•sin60º=4√3

ОВ противолежит углу 30º

ОВ= МВ•sin30º=4 см

ОВ- половина диагонали квадрата АВСД

ОВ=ОА.  

Стороны основания равны АВ=ВО:sin 45º=4√2

Апофема МН по т.Пифагора из ∆ МНВ

МН=√(МС²-НВ²)=√56

1)  

Площадь боковой поверхности

S(бок)=4•МН•HВ=4•2•√112=32√7 см²

2)  

Объем пирамиды:

V=S•H:3

S (осн)=АВ² =(4√2)² =32 см²  

V=(32•4√3):3=128:√3 см³  

3)  

Угол между противоположными боковыми гранями - это двугранный угол между плоскостями, содержащими эти грани.  

Он измеряется величиной угла, образованного прямыми, по которым грани пересекаются перпендикулярной им плоскостью КМН  т.е. величине угла между МК и МН

Величину∠КМН  можно найти по т.косинусов,  по формуле приведения двойного  угла  или  из отношения высоты НР треугольника КМН к апофеме МН. ( длина НР пригодится и дальше).  

НР=2S∆ КМН:МК

2S ∆ КМН=МО•КН=4√3•4√2=16√6

НР=16√6:√56=(8√21):7

sin ∠НМР=(8√21):(7•√56)=(√24):7≈ 0,699854....

Это синус угла ≈ 44,4º  или 44º24

4)  

Объем описанного около пирамиды шара  

Около данной пирамиды можно описать шар, так как  около ее основания - квадрата - можно описать окружность (свойство описанного шара).  

Центр его лежит в точке пересечения высот (срединных перпендикуляров) правильного ∆ ВМД

V=4πR³:3

Радиус описанного шара равен радиусу описанной вокруг правильного ∆ ДМВ  окружности. (углы при ДВ=60º)

2R=МВ:sin60º

R=8/√3

V=π•4•(8/√3)³:3

V=π•2048/3•3√3=π•(2048√3):27= 131,379π или при π=3,14 ≈  412,74

5)  

угол между боковым ребром АМ и плоскостью ДМС

На рисунке пирамида для наглядности «уложена» на боковую грань ДМС.  

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Проекция АМ на плоскость ДМС - это отрезок, который соединяет т.М с основание перпендикуляра из т.А на данную плоскость.  

АВ || СД. ⇒АВ  параллельна плоскости ДМС,⇒

все точки АВ находятся на равном расстоянии от  плоскости ДМС,

Искомый угол -∠ АМТ  

 Перпендикуляр АТ из точки  А наклонной АМ на  плоскость ДМС  параллелен и равен перпендикуляру из любой другой точки  АВ на ту же плоскость. ⇒

АТ=НР=(8√21):7  

sin∠ АМТ=АТ:АМ={(8√21):7}:8=(√21):7≈0,65465...

∠ АМТ= ≈40º54’ ≈ 41º