Треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника, называются подобными. ( Подобны, значит, похожи, хотя размеры сторон у них разные).
Рассмотрим данные треугольники.
Угол В=углу N;
АВ:MN=12:6=2
BC:NK=18:9=2
2 признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум другим сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует равенство углов, противолежащих сходственным сторонам и отношение третьих сторон, равное коэффициенту подобия k=2.⇒
АС=2 МК=2•7=14;
Угол С=углу К=60°
Из суммы углов треугольника
угол А=углу М=180°-(70°+60°)=50°
----------------------
Примечание. Задача решена. Треугольники подобны. Нужные элементы найдены.Но если придираться к условию, то можно заметить: стороны обозначены неправильно. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона и наоборот, но это ошибка составителей задачи.
По условию задачи медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса, значит медиана АМ и высота конуса ∈ плоскости Δ ACS.
Учитывая, что SC и SA образующие конуса, то SC = SA, значит Δ ACS - равнобедренный.
Т.к. N - середина АС, тогда SN - высота конуса и высота Δ ACS. ⇒ SN ⊥ AC и АС - диаметр основания конуса.
По условию AB = BC ⇒ ΔАВС - равнобедренный, тогда BN - высота ⇒ BN ⊥ AC и BN ⊥ AN
Учитывая, что SN ⊥ BN, AS - наклонная, AN - проекция наклонной (AN ⊥ BN), то по теореме о трех перпендикулярах AS ⊥ BN, а значит BN ⊥ MN, так как MN || AS (MN - средняя линия).
Что и требовалось доказать.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если
Решение.
Построим прямую МЕ || SB. Прямые AM и SB скрещиваются, поэтому угол между ними, будет равен углу между прямой АМ и МЕ.
Угол АМЕ найдем из ΔАЕМ, для это найдем его стороны.
ΔАВС - равнобедренный (по условию AB = BC) и прямоугольный. ∠ ВАС = 90° т.к. это угол опирается на диаметр окружности), тогда AE - медиана, то по формуле медианы треугольника найдем
Рассмотрим ΔASC. AМ - медиана, то по формуле медианы треугольника найдем
Рассмотрим ΔSBC. Где AS = SB = 2, ME - средняя линия ΔSBC, тогда МЕ = SB / 2 = 2 / 2 = 1
Тогда по теореме косинусов из ΔAME найдем ∠AME = α
Задача на подобие треугольников.
Определение:
Треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника, называются подобными. ( Подобны, значит, похожи, хотя размеры сторон у них разные).
Рассмотрим данные треугольники.
Угол В=углу N;
АВ:MN=12:6=2
BC:NK=18:9=2
2 признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум другим сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует равенство углов, противолежащих сходственным сторонам и отношение третьих сторон, равное коэффициенту подобия k=2.⇒
АС=2 МК=2•7=14;
Угол С=углу К=60°
Из суммы углов треугольника
угол А=углу М=180°-(70°+60°)=50°
----------------------
Примечание. Задача решена. Треугольники подобны. Нужные элементы найдены.Но если придираться к условию, то можно заметить: стороны обозначены неправильно. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона и наоборот, но это ошибка составителей задачи.
По условию задачи медиана AM треугольника ACS пересекает высоту
конуса, значит медиана АМ и высота конуса ∈ плоскости Δ ACS.
Учитывая, что SC и SA образующие конуса, то SC = SA, значит Δ ACS - равнобедренный.
Т.к. N - середина АС, тогда SN - высота конуса и высота Δ ACS. ⇒ SN ⊥ AC и АС - диаметр основания конуса.
По условию AB = BC ⇒ ΔАВС - равнобедренный,
тогда BN - высота ⇒ BN ⊥ AC и BN ⊥ AN
Учитывая, что SN ⊥ BN, AS - наклонная, AN - проекция наклонной (AN ⊥ BN), то по теореме о трех перпендикулярах AS ⊥ BN, а значит BN ⊥ MN, так как MN || AS (MN - средняя линия).
Что и требовалось доказать.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если
Решение.
Построим прямую МЕ || SB. Прямые AM и SB скрещиваются, поэтому угол между ними, будет равен углу между прямой АМ и МЕ.
Угол АМЕ найдем из ΔАЕМ, для это найдем его стороны.
ΔАВС - равнобедренный (по условию AB = BC) и прямоугольный. ∠ ВАС = 90° т.к. это угол опирается на диаметр окружности), тогда
AE - медиана, то по формуле медианы треугольника найдем
Рассмотрим ΔASC. AМ - медиана, то по формуле медианы треугольника найдем
Рассмотрим ΔSBC. Где AS = SB = 2, ME - средняя линия ΔSBC, тогда
МЕ = SB / 2 = 2 / 2 = 1
Тогда по теореме косинусов из ΔAME найдем ∠AME = α
Отсюда
ответ: