Утрикутнику одна з його сторін дорівнює 28см, а інша сторона ділиться точкою дотику, вписаного в нього кола, на відрізки 12см і 14см. знайдіть периметр трикутника

AB =16 ; ∠A =30° ; ∠B =105° .

1) BC -?
2) (меньшая сторона) -?

1) AB/sin∠C =BC/sinA   =  AC/sin∠B  = 2R (теорема синусов).
∠C =180° -(∠A +∠B )= 180° -(30° +105°) =45°.
16/sin45° =BC/sin30°⇒
BC =15*(sin30°/sin45°) =16*(1/2) / (1/√2) =(16√2)/2 =8√2≈11,28 (см).
---
2) меньшая сторона та, которая лежит против меньшего угла , 
эта сторона BC(лежит против меньшего угла ∠A=30°).  
 
длину  AC  не требуется , но :
AC /sin∠B = AB/sin∠C ⇒AC =AB*sin(∠B)/(sin∠C)=
16* sin105°/(1/√2) =16√2sin105°=16√2*√2(√3 +1)/4 =8(√3 +1) .

sin105° =sin(180°-75°) =sin75°=sin(45°+30°) =...
или 
sin105° =sin(60°+45°) =sin60°*cos45°+cos60°*sin45°=
(√3/2)*(√2/2)+(1/2)*(√2/2) =√2(√3 +1)/4.

* * * * * * *    Второй
∠C =180° -(∠A+∠B) =180° -(30°+105°) =45°.
Проведем высоту  BH⊥AC (∠AHB=90°) ⇒  Прямоугольный треугольник BHC  равнобедренный CH =BH ,т.к.  ∠C =45°.
По теореме Пифагора из ΔBHC:
BC =√ (BH² +CH²) =√(2BH²) =BH√2 . Но из ΔABH  BH=AB/2 =8(как катет против угла
∠A =30°). Значит BC =BH√2 =8√2.

Иван I Данилович (Калита) (?-31 МР 1340) - князь московский с 1325, Великий князь владимирский с 1328. Вступил на престол после гибели в Орде Юрия Даниловича и передачи ярлыка в Тверь (1325 20 НЯ) . Сыграл большую роль в укреплении влияния и расширении территории Московского княжества. Покупал у бедных князей деревни, сёла и даже города (Белозёрск, Галич, Углич) . В 1332 начал борьбу с Новгородом за "дани новгородские", отвоевал Торжок. Первым из русских князей называл себя "великим князем всея Руси". Его политику поддерживал митрополит Пётр, подготовивший перенос митрополичьей кафедры из Владимира в Москву (Москва становится религиозным центром Руси) . После разгрома москвичами Твери в наказание за убийство тверичами ханских баскаков, Иван получил ярлык на великое княжение (Москва становится политическим центром Руси) . Собирая дань для Орды, он удерживал часть этой дани для собственной казны. Обеспечил длительный мир для Московского княжества. Разделил свои земли м. сыновьями Симеоном, Иваном, Андреем, отдал Москву им в общее пользование. Погребён в Даниловском монастыре.