Увас с другом есть слоеный (т.е. горизонтально резать нельзя) прямоугольный торт, из которого какой-то гад, к сожалению, уже вырезал (и съел) прямоугольный кусок. ориентация и положение вырезанного куска могут быть совершенно произвольными. как разделить оставшийся торт на две равные части одним прямолинейным разрезом?

В треугольнике АВС сторона ВС = 4 см, ∠В = 25°, ∠С = 40°. Найти ∠А и стороны АВ, АС.

============================================================

Сумма всех углов в треугольнике равна 180°:∠А + ∠B + ∠C = 180°∠A = 180° - 25° - 40° = 180° - 65° = 115°По теореме синусов:BC/sin∠A = AB/sin∠C  ;  4/sin115° = AB/sin40° ⇒AB = 4•sin40°/sin115° = 4•sin40°/cos25° ≈ 4•0,64/0,91 ≈ 2,56/0,91 ≈ 2,81 смBC/sin∠A = AC/sin∠B  ;  4/cos25° = AC/sin25° ⇒AC = 4•sin25°/cos25° = 4•tg25° ≈ 4•0,47 ≈ 1,88 смОТВЕТ: ∠А = 115° , АВ ≈ 2,81 см , АС ≈ 1,88 см

1) Длина ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 4 см. Точка Е - середина ребра ВВ₁. Вычислите длину ортогональной проекции отрезка ЕD на плоскость DD₁C₁.
См. рисунок 1 
DЕ - наклонная к плоскости DD₁C₁.
Опустив перпендикуляр ЕЕ₁ на эту плоскость и соединив Е₁ с D, получим прямоугольный треугольник DЕЕ₁, в котором катет DЕ₁ является искомой проекцией. Он  же является и  гипотенузой прямоугольного треугольника DСЕ₁, катеты которого нам известны. 
СЕ₁=ВЕ=4:2=2 
DС=4 
DЕ₁=√(16+4)=2√5 см
-----------------------------
2) Длина ребра куба АВСDA₁B₁C₁D₁ равна 2 см. Вычислите расстояние между прямой DD₁ и плоскостью АСС₁.
См. рисунок 2 
Расстоянием от прямой до плоскости является перпендикуляр к плоскости из любой точки этой прямой. 
DН - искомое расстояие. 
DН- половина диагонали основания. 
Диагональ основания равна 2√2, следовательно,
 DН=√2 см
---------------------------
3) Основание треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник, длина стороны которго равна 6 см. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания. Вычислите расстояние от середины ребра SC до прямой АВ, если известно, что SC = 4 см.
См. рисунок 3
 Искомое расстояние - отрезок МН, перпендикулярный АВ. 
По теореме о трех перпендикулярах его проекция также перпендикулярна АВ, и проекция эта является высотой СН правильного треугольника АВС. 
СН=АС sin(60°)=3√3 
МН по т. Пифагора равна корню из суммы квадратов катетов прямоугольного треугольника МСН ( МС, как часть SC, перпендикулярна плоскости АВС по условию).
МН=√(4+27)=√31 см
ответ: расстояние от середины ребра SC до прямой АВ равно √31см