См. рисунок в приложении Пусть ребро АА₁ образует со сторонами основания АВ и AD угол в 60°. Соединяем точку А₁ с точкой D. В треугольнике АА₁D AA₁=2 м AD=1 м ∠A₁AD=60° По теореме косинусов A₁D²=AA₁²+AD²-2·AA·₁AD·cos60°=4+1-2·2·1(1/2)=3 A₁D=√3 м Треугольник A₁AD- прямоугольный по теореме обратной теореме Пифагора: АА₁²=AD²+A₁D² 2²=1+( √3 )² A₁D⊥AD В основании квадрат, стороны квадрата взаимно перпендикулярны АС⊥AD Отсюда AD⊥ плоскости A₁CD ВС || AD BC ⊥ плоскости A₁CD
ВС⊥A₁C
A₁C перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВС и СD плоскости АВСD По признаку перпендикулярности прямой и плоскости А₁С перпендикуляр к плоскости АВСD A₁C - высота призмы A₁C=Н Из прямоугольного треугольника A₁DC: А₁С²=А₁D²-DC²=(√3)²-1=3-1=2 A₁C=Н=√2 м
г) Координаты точки D и уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно стороне АС.
Находим уравнение стороны АВ.
(х −3)/8 = (y−2)/6 ⇔ 3x−4y−1=0.
С угловым коэффициентом уравнение АВ: у = (3/4)х – (1/4).
Координата точки D находится как точка пересечения прямых АВ и СD.
(3/4)х – (1/4) = (-4/3)х + 17.
(25/12)х = (69/4)0 отсюда:
х(D) = 207/25 = 8,28.
y(D) = (3/4)*8,28 – (1/4) = 5,96.
В уравнении прямой DР, проходящей через точку D параллельно стороне АС, угловой коэффициент равен такой же, как и у АС, то есть к(DР) = к(АС) = -5/12.
Уравнение имеет вид: у = (-5/12)х + в. Для определения параметра "в" подставим координаты точки D: 5,96 = (-5/12)*8,28 + в, отсюда в = 5,96 + 3,45 = 9,41.
Уравнение DР: у = (-5/12)х + 9,41.
д) Точка пересечения медианы треугольника АВС ? с чем? и к какой. стороне?
Пусть ребро АА₁ образует со сторонами основания АВ и AD угол в 60°.
Соединяем точку А₁ с точкой D.
В треугольнике АА₁D
AA₁=2 м
AD=1 м
∠A₁AD=60°
По теореме косинусов A₁D²=AA₁²+AD²-2·AA·₁AD·cos60°=4+1-2·2·1(1/2)=3
A₁D=√3 м
Треугольник A₁AD- прямоугольный
по теореме обратной теореме Пифагора:
АА₁²=AD²+A₁D² 2²=1+( √3 )²
A₁D⊥AD
В основании квадрат, стороны квадрата взаимно перпендикулярны
АС⊥AD
Отсюда AD⊥ плоскости A₁CD
ВС || AD
BC ⊥ плоскости A₁CD
ВС⊥A₁C
A₁C перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВС и СD плоскости АВСD
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости А₁С перпендикуляр к плоскости АВСD
A₁C - высота призмы
A₁C=Н
Из прямоугольного треугольника
A₁DC:
А₁С²=А₁D²-DC²=(√3)²-1=3-1=2
A₁C=Н=√2 м
S(параллелепипеда)=S(осн)·Н=АВ²·Н=1·√2=√2 куб. м
Даны координаты треугольника АВС А(3;2) В(11;8) С(15;-3).
а) Длины,уравнения и угловые коэффициенты сторон АВ и АС .
Векторы: АВ = (8; 6), АС = (12; -5).
Длины: АВ = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.
АС = √(12² + (-5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
Угловые коэффициенты прямых равны: к = Δу/Δх.
к(АВ) = 6/8 = 3/4 = 0,75.
к(АС) = -5/12.
б) Внутренний угол А треугольника АВС.
cos A = (8*12 – 5*6)/(10*13) = 33/65.
A = 1,038292 радиан или 59,49 градуса.
в) Длина и уравнение высоты СD.
Угловой коэффициент прямой СD равен: к(СD) = -1/к(АВ) = -1/(3/4) = -4/3.
Уравнение СD имеет вид: у = (-4/3)х + в. Для определения параметра «в» подставим координаты точки С: -3 = (-4/3)*15 + в, в = –3 + (60/3) = 17.
Уравнение высоты СD: у = (-4/3)х + 17.
Длина высоты СD рассчитывается по формуле:
D = |(y2-y1)*x0 – (x2-x1)*y0 + x2y1 – y2x1|/√((y2-y1)² + (x2-x1)²).
Она выведена на основе формулы d = 2S/|AB|.
Подставив данные, получаем длину СD: d = 11,2.
г) Координаты точки D и уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно стороне АС.
Находим уравнение стороны АВ.
(х −3)/8 = (y−2)/6 ⇔ 3x−4y−1=0.
С угловым коэффициентом уравнение АВ: у = (3/4)х – (1/4).
Координата точки D находится как точка пересечения прямых АВ и СD.
(3/4)х – (1/4) = (-4/3)х + 17.
(25/12)х = (69/4)0 отсюда:
х(D) = 207/25 = 8,28.
y(D) = (3/4)*8,28 – (1/4) = 5,96.
В уравнении прямой DР, проходящей через точку D параллельно стороне АС, угловой коэффициент равен такой же, как и у АС, то есть к(DР) = к(АС) = -5/12.
Уравнение имеет вид: у = (-5/12)х + в. Для определения параметра "в" подставим координаты точки D: 5,96 = (-5/12)*8,28 + в, отсюда в = 5,96 + 3,45 = 9,41.
Уравнение DР: у = (-5/12)х + 9,41.
д) Точка пересечения медианы треугольника АВС ? с чем? и к какой. стороне?
е) Площадь треугольника АВС двумя
1. По формуле Герона.
Находим длины сторон.
с =АВ = √((хВ – хА)² + (уВ – уА)²) = √((11 – 3)² + (8 – 2)²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.
а =ВС = √((хС – хВ)² + (уС – уВ)²) = √((15 – 11)² + (-3 – 8)²) = √(4² +(-11)²) = √(16 + 121) = √137 ≈ 11,7047.
b =АС = √((хС – хА)² + (уС – уС)²) = √((15 – 3)² + (-3 – 2)²) = √(12² +(-5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
Полупериметр треугольника равен: р = (10+ 11,7047 + 13)/2 = 17,35235.
Площадь треугольника по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Подставив данные, получим S = 56 кв.ед.
2. По векторам.
Площадь равна половине модуля векторного произведения АВ и АС.
Векторы: АВ = (8; 6), АС = (12; -5).
i j k | i j
8 6 0 | 8 6
12 -5 0 | 12 -5 = 0i + 0j – 40k – 0j + 0i – 72k = -112k.
S = (1/2)*|-112| = 56 кв.ед.
3. Можно принять третий вариант – по двум сторонам и углу между ними.
Найден угол A = 59,49 градуса и 2 примыкающие стороны: АВ = 10 и АС = 13.
S = (1/2)*10*13*sin A = (1/2)*10*13*0,861538 = 56 кв.ед.