В четырехугольнике АВСD диагональ АС делит углы ВАD и ВСD пополам. Докажите, что его диагонали перпендикулярны.

Биссектриса углов А и Д параллелограмма АВСД пересекаются в точке М, дежащий на стороне ВС. Луч ДМ пересекает прямую АВ в точке N. Найдите периметр параллелограмма АВСД, если АN=10 СМ

РЕШЕНИЕ

сделаем построение по условию

<ADN=<CDN  т.к.  DN - биссектриса <D

(AN)  || (CD)  тогда <AND=<CDN  -скрещивающиеся углы

треугольник  NAD  - равнобедренный  (<AND=<АDN  )

|AN|=|AD\=10см

(АМ)  - биссектриса, высота, медиана 

по теореме Фалеса параллельные прямые (AD) || (BC) отсекают  на сторонах <AND

пропорциональные отрезки   , т.к. | NM |=| MD | следовательно |NB| = |АB| =|AN| / 2=10/2=5см

ПЕРИМЕТР  параллелограмма AB+BC+CD+DA=5+10+5+10=30 см

ответ   периметр  30см

Так как AD = BD, треугольник ABD - равнобедренный, значит, по определению, углы DAB и DBA равны.

Так как DC = BC, треугольник DBC равнобедренный, значит, по определению, углы CDB и CBD равны.

Так как треугольник АВС по условию равнобедренный, углы DAB и DCB равны.

Углы ADB и CDB в сумме имеют 180°, так как их стороны образуют прямую АС, а угол CDB равен сумме углов DAB и DBA как внешний угол по отношению к треугольнику ABD.

Тогда ∠CDB = 2∠DCB = ∠CBD, и 2∠DCB + 2∠DCB + ∠DCB = 5∠DCB = 180°, откуда ∠DCB = 180:5 = 36°.

∠DAB = ∠DCB = 36°, и, наконец, ∠АВС = ∠CBD + ∠DBA = 2∠DCB + ∠DCB = 3*36 = 108°.

Углы треугольника АВС равны 108°, 36° и 36°

ответ:  108°, 36° и 36°