В четырехугольнике отметили середины всех сторон. Дока­ жите, что площадь параллелограмма с вершинами в этих точках
составляет половину площади исходного четырехугольника.​

Прямокутник АВСД, діагоналі АС та ВД перетинаються в т. О.
ОН - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника ВС (отже ОН - висота трикутника ВСО)
ОМ - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника АД (отже ОМ - висота трикутника АДО)
ОР - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника АВ (отже ОР - висота трикутника АВО)
ОК - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника СД (отже ОК - висота трикутника СДО)
Оскільки  Діагоналі прямокутника мають однакову довжину, а також  в точці перетину діляться навпіл, значить трикутник ВСО=трикутнику АДО та трикутник АВО=трикутнику СДО.
А це означає, що і висоти у попарно рівних трикутниках між собою рівні, а саме
ОК=ОР, а ОН=ОМ.
Виходить, що  ОН=ОМ=4 см та ОК=ОР=9 см (по умові задачі сказано, що точка перетину його діагоналей віддалена від його сторін на 4 см і на 9 см).

У прямокутника протилежні сторони рівні.
АВ=СД=ОН+ОМ=4+4=8 см
ВС=АД=ОР+ОК=9+9=18  см
Периметр = сумі довжин усіх сторін прямокутника
Периметр = АВ+ВС+СД+АД
Отже
Периметр = 8+18+8+18=52 см

Відповідь: периметр прямокутника=52 см

Параллелограмм АВСД. Противоположные стороны парраллелограмма равны по определению, т.е. АВ=СД и АД=ВС.

1случай АВ+ВС+СД=42. 2АВ+ВС=42

По условию АВ+ВС+СД+ДА=46. 2АВ+2ВС=46 

Система из двух уравнений:  2АВ+ВС=42 (1) 

 

                                            2АВ+2ВС=46  (2)

Из (1) выразить ВС: ВС=42-2АВ

Подставим во второе: 2АВ+84-4АВ=46. -2АВ=-38. АВ=19

ПОдставим результат в (1): 38+ВС=42. ВС=4

ответ: АВ=СД=19. ВС=АД=4

 

 

2случай. ВС+СД+ДА=42. 2АД+СД=42 (1) 

                                     2СД+2АД=46  (2)

Из (1) ДС=42-2АД

В (2) 84-4АД+2АД=46

-2АД=-38

АД=19

СД=42-38=4

 

 

ответ: АД=ВС=19, АВ=СД=4