В. Дан прямоугольный треугольник ABCс гипотенузой АВ.
у которого угол между высотой СН и биссектрисой СМ
равен 12°. Найдите больший острый угол треугольни-
ка ABC.​

1. Если через любую конечную точку любой из двух диагоналей квадрата проведём прямую MN перпендикулярно диагонали, то со сторонами квадрата и прямыми, на которых находятся стороны квадрата, проведённая прямая образует углы 45°. Это легко доказать с данного чертежа.

2. Таким образом в этой ситуации имеем 4 равных прямоугольных треугольника (признак по равным катетам и острым углам), у которых равны и их гипотенузы.

3. Искомый отрезок MN состоит из гипотенуз двух треугольников, следовательно, длина MN=2⋅26,3=52,6 ед. изм.

1) Уравнения сторон.

АВ : Х-Ха          У-Уа

          =   

        Хв-Ха       Ув-Уа

        Х - 2           У - 1

           =          это каноническое уравнение прямой,

          -3               3

         3х - 6 = -3у + 3

         3х + 3у - 9 = 0   или х + у - 3 = 0     это уравнение общего вида,

          у = -х + 3                 это уравнение с угловым коэффициентом.

  Аналогично:

       ВС : (Х-Хв)/(Хс-Хв) = (У-Ув)/(Ус-Ув),

               (Х+1)/4 = (У-4)/6,

                3 Х + 2 У - 5 = 0,

                 у = -1,5 х + 2,5.     

        АС : (Х-Ха)/(Хс-Ха)  = (У-Уа)/(Ус-Уа),

                 (Х-2)/1  = (У-1)/(-3),    

                  3 Х + 1 У - 7 = 0,

                  у = -3 х + 7.

    2) Углы треугольника.

      Находим длины  сторон:

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) =  √18 ≈ 4,242640687. 

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √52 ≈ 7,211102551. 

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √10 ≈ 3,16227766.         

 Внутренние углы по теореме косинусов:

cos A= (АВ²+АС²-ВС²)/( 2*АВ*АС)  = -0,894427,

A = 2,677945 радиан = 153,4349 градусов.

cos В= (АВ²+ВС²-АС²)/(2*АВ*ВС)  = 0,980581, 

B = 0,197396 радиан = 11,30993 градусов.

cos C= (АC²+ВС²-АВ²)/(2*АC*ВС) = 0,964764, 

C = 0,266252 радиан  = 15,25512 градусов.