Відомо, що медіана та висота, що проведені з однієї вершини трикутника, ділять кут при даній вершині на три рівні частини. Доведіть, що даний трикутник – прямокутний та знайдіть його гострі кути.

Если угол со стороной AD составляет 45^, то и угол со стороной CD тоже будет составлять 45^ так как угол D равен 90^
В сумме углы треугольника ACD составляют 180
Таким образом треугольник ACD - равнобедренный с основанием АС, прямым углом D и катетами, равными между собой CD и AD - то есть все стороны прямоугольника равны между собой и составляют квадрат со равными сторонами AB, BC, CD, DA.
Пусть длина стороны данного квадрата равна а, соответственно площадь квадрата равна произведению а и а, то есть а^2.
По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть а^2 + а^2 = 8^2. Или 2а^2=64. Таким образом а^2=32.
А выражение а^2 и есть искомая площадь.
ответ: 32 см^2

Это задача решается с тригонометрических формул. Пусть треугольник АВС прямоугольный (угол В прямой). Катет АВ=b=12, а угол А=42 градусам. Косинус угла А есть отношение прилежащего катета к гипотенузе, т.о. АС=b/cosA=12/cos42. Тангенс угла А есть отношение противолежащего катета к прилежащему, т.о. ВС=b*tgA=12*tg42. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. В прямоугольном треугольнике один угол прямой, т.е. равен 90 градусов, а второй равен 42 градусов. Т.е. 180-90-42=48 градусов. Значения cos42=0.743 и tg42=0.9 приблизительно.