Відомо, що точка перетину серединних перпендикулярів сторін AB і BC трикутника ABC розташована на стороні AC.
1. Доведи, що AD=CD.
Точка D як точка перетину серединних перпендикулярів сторін AB та CB
від кінцевих точок цих сторін.
Якщо AD =
та
=
, то
=
.
2. Визнач вид трикутника ADB:
різносторонній
не можна визначити
рівнобедрений
рівносторонній
прямокутний
3. Визнач вид трикутника CDB:
різносторонній
не можна визначити
рівнобедрений
рівносторонній
прямокутний
4. Застосуй відповідну властивість кутів і доведи, що ∠KBM=∠KAD+∠MCD.
∠KAD = ∠K
∠MCD = ∠M
5. Визнач вид трикутника ABC:
рівносторонній
різносторонній
не можна визначити
рівнобедрений
прямокутний?
Расстояние от Е до СД - это перпендикуляр ЕК к СД.
Из вершины С опустим высоту СН на АД: АВ=СН, ВС=АН=12
АД=АН+НД
НД=АД-АН=14-12=2.
Продолжим стороны АВ и СД до пересечения в точке М.
Прямоугольные ΔМВС и ΔСНД подобны по острому углу (<ВСМ=<НДС как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей МД)
ВС/НД=МС/СД
12/2=МС/СД
МС=6СД
МД=МС+СД=6СД+СД=7СД
Получается, что МЕ - касательная и МД - секущая, проведённые к окружности из одной точки.
Значит МЕ²=МД*МС=7СД*6СД=42СД²
МЕ=СД√42
Прямоугольные ΔМКЕ и ΔСНД подобны по острому углу (<ЕМК=<ДСН как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АМ и СН секущей МД)
МЕ/СД=ЕК/НД
СД√42/СД=ЕК/2
ЕК=2√42
Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E.
Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=8, BC=4.
Есть 4 варианта расположения трапеции и окружности при данных
ВС и АD. (Представлены на рисунках).
Для всех четырех решение и результат одинаковы:
Искомое расстояние - это перпендикуляр EF к прямой CD.
По условию ВС - средняя линия треугольника ADS.
DC=SC, AB=BS. SD=2DC. Тогда по свойству касательной и секущей из
одной точки к окружности имеем:
SE² = SD*SC = 2DC² или
SE = CD√2.
Прямоугольные треугольники HDC и FES подобны по острому углу <S=<C (так как НС параллельна AS).
Из подобия треугольников имеем:
EF/DH = SE/CD => EF = DH*SE/CD.
EF=4CD√2/CD = 4√2.
Или так:
EF=SE*Sin(<ESF) =SE*Sin(<DCH).
<ESF=<DCH =α (соответственные углы в подобных треугольниках)
α= SE*Sinα
Sinα=HD/DC.
EF = SE*HD/CD.
Или так:
EF=SE*Cos(<SEF) =SE*Cos(<FDA).
<SEF=<FDA =β (соответственные углы в подобных треугольниках)
α= SE*Cosβ
Cosβ=HD/DC.
EF = SE*HD/CD.
Все эти варианты, в принципе, одно и то же.
ответ: EF= 4√2.
Так как решение при любых вариантах расположения окружности и
трапеции одинаково, можно привести решение подобных задач в общем
виде для разных значений ВС и AD.
Решение.
Пусть ВС= а, AD=b. AD>BC.
Прямоугольные треугольники HDC и FES подобны по острому углу
<S=<C (так как НС параллельна AS). Из подобия имеем:
EF/HD = SE/CD => EF = DH*SE/CD.
Следовательно, чтобы найти EF, надо выразить DH, SЕ и CD через
основания трапеции ВС и AD.
DH=AD-BC = (b-a) (по условию).
Прямоугольные треугольники ASD и BSC подобны по общему острому углу
<S. Коэффициент подобия равен k=ВC/AD=a/b. Тогда
SC=CD*a/(b-a).
SD=SC+CD = CD*(a/(b-a)+CD = CD(a/(b-a) +1)= CD*b/(b-a).
По свойству касательной и секущей из одной точки к окружности имеем:
SE² = SD*SC.
SE² = SD*SC=CD*b/(b-a))*CD*a/(b-a) = CD²*a*b/(b-a)².
SE = CD*√(a*b)/(b-a).
EF=(b-a)*CD*√(a*b)/((b-a)*CD) = √(a*b).
ответ: расстояние от точки Е до прямой CD равно √(ВС*AD) для любых значений ВС и AD.
ЕF=√(ВС*AD).
P.S. для нашего случая ответ:
ЕF= √(4*8) = 4√2.