Если указывать правильный n-угольник на данных вершинах, то между парами соседних вершин нового многоугольника будет пропущено одинаковое количество k вершин старого многоугольника (выбираем вершины через k). С учетом того, что всего вершин было 100,
n * (k + 1) = 100.
n > 2 (число вершин в новом многоугольнике - n)
100 = 2 * 2 * 5 * 5 = 2² * 3²
Всего разложений на два множителя с учетом порядка:
3 * 3 = 9 (в точности количество различных делителей)
Среди них не подходят те, в которых n=1 или n=2 (они, очевидно, встречаются и ровно по одному разу) и n=100 (исходный 100-угольник). Итого 6 правильных многоугольников.
Можно получить этот же ответ в явном виде.
Распишем всевозможные разложения на два множителя (с учетом порядка) числа 100:
Заданные уравнения можно решить методом Крамера как систему.
x y z B 88 Определитель
4 0 -5 3
0 4 -1 11
3 -1 2 5
Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:
3 0 -5 176 Определитель
11 4 -1
5 -1 2
Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:
4 3 -5 264 Определитель
0 11 -1
3 5 2
Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:
4 0 3 88 Определитель
0 4 11
3 -1 5
x = 176/88 = 2,
y = 264/88 = 3,
z = 88/88 = 1.
Это координаты точки пересечения прямой и плоскости.
6. Правильные 4-, 5-, 10-, 20-, 25-, 50- угольники.
Объяснение:
Если указывать правильный n-угольник на данных вершинах, то между парами соседних вершин нового многоугольника будет пропущено одинаковое количество k вершин старого многоугольника (выбираем вершины через k). С учетом того, что всего вершин было 100,
n * (k + 1) = 100.
n > 2 (число вершин в новом многоугольнике - n)
100 = 2 * 2 * 5 * 5 = 2² * 3²
Всего разложений на два множителя с учетом порядка:
3 * 3 = 9 (в точности количество различных делителей)
Среди них не подходят те, в которых n=1 или n=2 (они, очевидно, встречаются и ровно по одному разу) и n=100 (исходный 100-угольник). Итого 6 правильных многоугольников.
Можно получить этот же ответ в явном виде.
Распишем всевозможные разложения на два множителя (с учетом порядка) числа 100:
100 = 1 * 100 - n=1, k=99 - не подходит (n > 2)
100 = 2 * 50 - n=2, k=49 - не подходит (n > 2)
100 = 4 * 25 - n=4, k=24 - подходит
100 = 5 * 20 - n=5, k=19 - подходит
100 = 10 * 10 - n=10, k=9 - подходит
100 = 20 * 5 - n=20, k=4 - подходит
100 = 25 * 4 - n=25, k=3 - подходит
100 = 50 * 2 - n=50, k=1 - подходит
100 = 100 * 1 - n=100, k=0 - исходный 100-угольник