1. Пусть есть две ПРОИЗВОЛЬНЫЕ касающиеся окружности радиусов r и R, и к ним проведена общая внешняя касательная. Если провести радиусы в точки касания и линию центров, то получится прямоугольная трапеция с основаниями r и R и боковой стороной r + R;откуда длину касательной d (между точками касания) легко найти (r + R)^2 = d^2 + (R - r)^2; d = 2√(R*r); 2. В данном случае есть ТРИ пары окружностей радиуса x, r = 4; R = 9; причем сумма длин внешних касательных между первой и второй, первой и третьей равна длине внешней касательной между второй и третьей. d = d1 + d2; 2√(R*x) + 2√(r*x) = 2*√(R*r); x = R*r/(√R + √r)^2 = 9*4/(3 + 2)^2 = 36/25;
Даны две пересекающиеся хорды. Длины отрезков хорды MN равны 12 и 3. Пусть длины каждого из отрезков второй хорды будут а, т.к. они по условию равны.
Углы с вершинами Р и N вписанные и опираются на одну и ту же дугу. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. ⇒ ∠ MPК =∠МNK .
Соединим отрезками точки М и Р и точки K и N
В треугольниках MPЕ и ЕNK углы при Е равны как вертикальные, ∠ MPЕ =∠ЕNK . ⇒
∆ MPЕ ~∆ ЕNK по первому признаку подобия треугольников.
Из подобия следует отношение сходственных сторон:
МЕ:КЕ=РЕ:ЕN ⇒
ME•EN=KE•PE
12•3=а²
а=√36=6
РК=6•2=12 см
________________
Данный решения применён при доказательстве теоремы:
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Её применение сделает запись решения короче:
По свойству пересекающихся хорд
МЕ•EN=PE•KE
По условию РЕ=ЕК, ⇒
РЕ²=12•3
РЕ=√36=6
РК=6•2=12 см
(r + R)^2 = d^2 + (R - r)^2; d = 2√(R*r);
2. В данном случае есть ТРИ пары окружностей радиуса x, r = 4; R = 9;
причем сумма длин внешних касательных между первой и второй, первой и третьей равна длине внешней касательной между второй и третьей.
d = d1 + d2;
2√(R*x) + 2√(r*x) = 2*√(R*r);
x = R*r/(√R + √r)^2 = 9*4/(3 + 2)^2 = 36/25;