Відрізки АВ і CD перетинаються в точці О так, що точка О — є серединою кожного з них. Довести, що трикутник АОС дорівнює трикутнику BOD.

Если мы представим себя в роли наблюдателя, стоящего в начале координат и обращенного в сторону положительной полуоси х, то в случае а) ось у будет идти справа налево, а в случае б) — слева направо; В первом случае координатную систему называют правой, во втором левой.

Координаты точки  C  в новой и старой системе координат связаны соотношениями с учётом того, что они имеют разную ориентацию – старая система правая, а новая - левая:

{x'=(x-a)* cos⁡φ + (y-b)*sin⁡φ

{y'=(y-a)*sin⁡φ - (y-b)*cos⁡φ.

Для заданных условий: a = -3, b = -2, cos⁡φ=-4/5,  sin⁡φ=√(1-(-4/5)^2 )=3/5.

Проверим координаты точки С(8; 4) в новой (левой) системе.

x’ = (8-(-3))*(-4/5) + (4-(-2)*(3/5) = (-44/5) + (18/5) = -26/5 = -5,2.

y’ = (8-(-3))*(3/5) - (4-(-2)*(-4/5) = (33/5) - (-24/5) = 57/5 = 11,4.

На прилагаемом графике видно, что расчёт верен.

Объяснение:

83.

Дано: ∠MDE;

DP ⊥ LF; PL = PF.

Доказать: ∠LDP = ∠FDP.

Доказательство:

Рассмотрим ΔDLP  и ΔDPF - прямоугольные (DP ⊥ LF).

PL = PF (условие)

DP - общая.

⇒ ΔDLP = ΔDPF (по двум катетам)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

⇒ ∠LDP = ∠FDP.

84.

Дано: ΔDEF;

EK ⊥ DF; DK = FK;

Доказать: ED = EF.

Доказательство:

Рассмотрим ΔKDE  и ΔKEF - прямоугольные (EK ⊥ DF) .

DK = FK (условие)

КЕ - общая.

⇒ ΔKDE = ΔKEF (по двум катетам)

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

⇒ ED = EF.

85.

Дано: прямая а;

∠DAB = ∠EAB; ∠DBA = ABE;

Доказать: ΔBAD = ΔBAE.

Доказательство:

Рассмотрим ΔBAD и ΔBAE.

∠DAB = ∠EAB; ∠DBA = ABE (по условию)

АВ - общая.

⇒ ΔBAD и ΔBAE (по стороне и двум прилежащим углам. 2 признак)