Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .
Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .
Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника
Определение
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
, .
Определение
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
, .
Определение
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
, .
Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла
С введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.
Например, из формулы: . Аналогично: .
Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .
Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника
При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.
Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом
Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:
Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника
Доказательство
Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.
Аналогично: .
Рассмотрим следующую важную задачу.
Задача
Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .
Доказать:.
Доказательство
(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .
Отсюда получаем: .
.
.
Доказано.
Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.
Основное тригонометрическое тождество
Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.
Основное тригонометрическое тождество: .
Примечание:
Доказательство
, тогда: (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).
Доказано.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.
Решение примера
Дано: – прямоугольный (), .
Найти:
Решение
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .
Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .
ответ: .
На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.
Список литературы
Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
– катеты; AB=c – гипотенуза.
Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .
Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .
Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника
Определение
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
, .
Определение
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
, .
Определение
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
, .
Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла
С введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.
Например, из формулы: . Аналогично: .
Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .
Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника
При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.
Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом
Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:
Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника
Доказательство
Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.
Аналогично: .
Рассмотрим следующую важную задачу.
Задача
Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .
Доказать:.
Доказательство
(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .
Отсюда получаем: .
.
.
Доказано.
Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.
Основное тригонометрическое тождество
Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.
Основное тригонометрическое тождество: .
Примечание:
Доказательство
, тогда: (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).
Доказано.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.
Решение примера
Дано: – прямоугольный (), .
Найти:
Решение
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .
Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .
ответ: .
На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.
Список литературы
Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).
Xvatit.com (Источник).
Egesdam.ru (Источник).
Домашнее задание
№ 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.
Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен .
Связь числа и геометрии. Часть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур
К сожалению не проходят вложения. Попробую на словах.
а) Из т.К проведем отрезок КР // АС. Тр. ВКР подобен тр. АВС
ВК = АВ/4 (по условию). Значит КР = АС/4 = 15/4, ВР = ВС/4 = 7/4, но ВL = 4,
LC = 3. Тогда РL = 4 - 7/4 = 9/4.
Переходим к другой паре подобных тр-ов: KPL и LMC.
KP/CM = LP/LC 15/(4CM) = 9/(4*3) Отсюда: СМ = 5. Для нахождения последней стороны LM тр. LMC найдем cos LCM = - cosACB =
= - (BC^2 + AC^2 - AB^2)/(2BC*AC) = - (225+49-260)/210 = 14/210 = - 1/15.
Теперь по теореме косинусов найдем LM:
LM =кор(LC^2 + CM^2 - 2*LC*CM*cosLCM) = кор(9 + 25 + 2*3*5*/15) = 6.
Итак в тр-ке LMC известны все стороны:
MC = 5, LC = 3, LM = 6. Полупериметр: p = 7. Площадь по ф. Герона:
S = кор[7*(7-3)(7-5)(7-1)] = кор56. С другой стороны, S = pr, где r - радиус вписанной окр-ти . r = (кор56)/7 = (2кор14)/7
ответ: r = (2кор14)/7.
б) Найдем координаты точки О - центра вписанной окр-ти, поместив начало системы координат в т.А и направив ось Х по AC.
т.О - точка пересечения биссектрис тр. LMC. Проведем ОN перпендик. СМ
ОN = r = (2кор14)/7.
Тр-к СОN: СN = ON/tg(LCM/2) tg(LCM/2)= sinLCM /(1+cosLCM) =
= (2кор14)/7.
Тогда CN = 1.
Итак точка О ( и весь вектор АО) имеет координаты (16; (2кор14)/7)
Длина вектора АО = кор[ 256 + 56/49] = (30кор14)/7
ответ: АО = (30кор14) / 7.