Відрізок, що сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої
основи, дорівнює 8 см і утворює з площиною нижньої основи кут 60. Знайти об’єм циліндра, площу повної поверхні.(по можливості з поясненням

1) В данном случае диагональ квадрата - это и есть диаметр описанной окружности и равен двум радиусам:


2) В этом случае, наоборот, сторона квадрата - это диаметр вписанной окружности, а радиус равен половине диаметра (или стороны):
 см

3) Смотрим третий рисунок:
ABCD - прямоугольник, АВ=15, О - точка пересечения диагоналей, ∠АОВ=60°
Известно, что диагонали  прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит АО=ОВ, то есть ΔАОВ - равнобедренный. Но если угол при вершине равен 60°, то и углы при основании равны:
Значит  ΔАОВ - равносторонний, АО=ОВ=ВС=15 см.
Радиус описанной окружности в данном случае равен половине диагонали, то есть АО или ОВ:
 см

∠N=2∠M
∠M+∠N=180°⇒   ∠M+2·∠M=180°    ⇒3·∠M=180°    
∠M=60°
∠N=30°

∠NMK=30°     ∠KMP=30°         так как   МК- биссектриса угла М
∠NKM=∠KMP=30° - внутренние накрест лежащие при параллельных NK и MP    и секущей    МК

Треугольник MNK - равнобедренный
NM=NK=KP=8 см

Проводим высоты NF    и    KE    на сторону МР

Из прямоугольного треугольника MNF:
∠ M =60°
∠MNF=30°
MF=4 см ( катет против угла в 30° равен половине гипотенузы)
По теореме Пифагора
NF²=MN²-FM²=8²-4²=64-18=48
NF=4√3 см
h ( трапеции)=4√3 см

NF=EP=4 см

MP=MF+FE+EP=4+8+4=16 см

S( трапеции)=(NK+MP)·h/2=(8+16)·4√3/2=48√3    кв. см

ME=MF+FE=4+8=12
ME:EP=12:4=3:1