(В интернете нету готового)
45-56 рисунки

Пусть В - начало координат
Ось X - BA
Ось Y - ВС
Ось Z - перпендикулярно АВС в сторону S

Диагональ основания √26*√2=√52

высота пирамиды
h=√(13^2-(√52/2)^2)=√156

Координаты точек
A (√26;0;0)
C (0;√26;0)
S (√26/2;√26/2;√156)

Уравнение плоскости SAB ( проходит через начало координат)
ax+by+cz=0

Подставляем координаты точек

√26a=0 a=0
√26a/2+√26b/2+√156c=0

Пусть b=2√6 тогда с = -1

Уравнение SAB
2y√6-z=0

Уравнение плоскости SBC ( проходит через начало координат)
ax+by+cz=0

Подставляем координаты точек

√26b=0 b=0
√26a/2+√26b/2+√156c=0

Пусть a=2√6 тогда с = -1

Уравнение SBC
2x√6-z=0

Косинус искомого угла равен
(0*2√6 + 2√6*0 + (-1)*(-1))/√((2√6)^2+1)/√((2√6)^2+1) = 1/25

Угол arccos ( 1/25)

По условию

ВД = 8, КД = ВД/2 = 4

ИК = ИЕ = 6

--- 1 ---

ΔГКД ~ ΔГЕИ, т.к. угол Г общий и углы К и Е - прямые

Из подобия треугольников

ГД/ГК = ГИ/ГЕ

x/y = (y+6)/(x+4)

x² + 4x = y² + 6y

--- 2 ---

по т. Пифагора для ΔГКД

ГД² = ГК² + КД²

x² = y² + 4²

--- 3 ---

Решаем совместно уравнения из 1 и 2

Вычтем из второго первое

4² + 4x = 6y

x = 3/2*y - 4

Подставим выражение для х во второе

(3/2*y - 4)² = y² + 16

9/4 *y² - 2*3/2*4*y + 16 = y² + 16

5/4*y² - 12y = 0

5y² - 48y = 0

y(5y - 48) = 0

Плохое решение y=0 отбросим

Хорошее решение

y = 48/5

x = 3/2*y - 4 = 3/2*48/5 - 4 = 72/5 - 4 = 52/5

--- 4 ---

ΔГКД ~ ΔГЖЗ

ЖЗ/КД = ГЗ/ГК

z/4 = (y + 6 + 6)/y

z = 4*(y + 12)/y = 4*(48/5 + 12)/(48/5) = 5/12*(48/5 + 12) = 4 + 5 = 9

Нижнее основание трапеции

2z = 2*9 = 18

--- 5 ---

Площадь - половина произведения суммы основания на высоту

S = 1/2*(8 + 18)*12 = 6*26 = 156