В каком отношении высота равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, делит угол при основании, если внешний угол при вершине равен 140°.

В правильной четырехугольной пирамиде МАВСД боковое ребро равно 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов . Найти: 1) S боковой поверхности 2) V пирамиды 3) угол между противоположными боковыми гранями 4) V описанного около пирамиды шара 5) угол между боковым ребром АМ и плоскостью ДМС

Объяснение:

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Основание данной пирамиды - квадрат.  

Её высота МО- катет, противолежащий углу 60º в прямоугольного треугольника с гипотенузой 8 см.

МО=МВ•sin60º=4√3

ОВ противолежит углу 30º

ОВ= МВ•sin30º=4 см

ОВ- половина диагонали квадрата АВСД

ОВ=ОА.  

Стороны основания равны АВ=ВО:sin 45º=4√2

Апофема МН по т.Пифагора из ∆ МНВ

МН=√(МС²-НВ²)=√56

1)  

Площадь боковой поверхности

S(бок)=4•МН•HВ=4•2•√112=32√7 см²

2)  

Объем пирамиды:

V=S•H:3

S (осн)=АВ² =(4√2)² =32 см²  

V=(32•4√3):3=128:√3 см³  

3)  

Угол между противоположными боковыми гранями - это двугранный угол между плоскостями, содержащими эти грани.  

Он измеряется величиной угла, образованного прямыми, по которым грани пересекаются перпендикулярной им плоскостью КМН  т.е. величине угла между МК и МН

Величину∠КМН  можно найти по т.косинусов,  по формуле приведения двойного  угла  или  из отношения высоты НР треугольника КМН к апофеме МН. ( длина НР пригодится и дальше).  

НР=2S∆ КМН:МК

2S ∆ КМН=МО•КН=4√3•4√2=16√6

НР=16√6:√56=(8√21):7

sin ∠НМР=(8√21):(7•√56)=(√24):7≈ 0,699854....

Это синус угла ≈ 44,4º  или 44º24

4)  

Объем описанного около пирамиды шара  

Около данной пирамиды можно описать шар, так как  около ее основания - квадрата - можно описать окружность (свойство описанного шара).  

Центр его лежит в точке пересечения высот (срединных перпендикуляров) правильного ∆ ВМД

V=4πR³:3

Радиус описанного шара равен радиусу описанной вокруг правильного ∆ ДМВ  окружности. (углы при ДВ=60º)

2R=МВ:sin60º

R=8/√3

V=π•4•(8/√3)³:3

V=π•2048/3•3√3=π•(2048√3):27= 131,379π или при π=3,14 ≈  412,74

5)  

угол между боковым ребром АМ и плоскостью ДМС

На рисунке пирамида для наглядности «уложена» на боковую грань ДМС.  

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Проекция АМ на плоскость ДМС - это отрезок, который соединяет т.М с основание перпендикуляра из т.А на данную плоскость.  

АВ || СД. ⇒АВ  параллельна плоскости ДМС,⇒

все точки АВ находятся на равном расстоянии от  плоскости ДМС,

Искомый угол -∠ АМТ  

 Перпендикуляр АТ из точки  А наклонной АМ на  плоскость ДМС  параллелен и равен перпендикуляру из любой другой точки  АВ на ту же плоскость. ⇒

АТ=НР=(8√21):7  

sin∠ АМТ=АТ:АМ={(8√21):7}:8=(√21):7≈0,65465...

∠ АМТ= ≈40º54’ ≈ 41º

Объяснение:

8.

1) Пусть ∠С = х°, тогда

∠В = 2х

2) Рассмотрим ΔАDС

Он - равнобедренный, т.к. АD= DС по условию. Следовательно,

∠С =∠DАС = х

3) ∠DАС = ∠DАВ - по условию,

∠DАС = ∠DАВ = х, а

∠ВАС = 2х

4) Сумма углов в треугольнике = 180°

∠ВАС + ∠В + ∠С = 180°

2х + 2х + х = 180°

5х = 180°

х = 180° : 5 = 36°

∠С = 36°

∠ВАС = ∠В = 36° * 2= 72°

9.

1) △NКР - равнобедренный, т.к. NR = KP по условию, значит,

∠KNP = ∠NPK = ( 180° - 110°) /2 = 70°/2 = 35°

2) ∠KNP = ∠KNМ по условию, значит,

∠KNP = ∠KNМ =35° , а

∠МNР = 2 *35° = 70°

3) Рассмотрим △МNР

∠МNР =70°

∠KNМ =35°

∠КМР = 180° - 70° - 35° = 75°

10.

Пусть 1ч. угла = х, тогда

∠TSR = 3x,

∠RSP = 5x, следовательно,

∠TSP = 3x + 5x =8x

2) Рассмотрим △ROP и △RОS

RO -общая сторона, РО = ОS по условию,

∠ROS = ∠ROP =90° по условию. Следовательно,

△ROP и △RОS по 2-м сторонам и углу между ними. Из этого следует,что

∠P = ∠RSP = 5x

3) Рассмотрим △РTS

∠P = 5х, ∠TSP = 8x, ∠TPS = 115°, тогда

∠P +∠TSP +∠TPS = 180°

5х + 8х + 115° = 180°

13х = 65°

х = 5°

4) ∠P = 5х = 5 * 5° = 25°

∠TSP = 8x = 8 * 5° = 40°