В конус у которого осевое сечение – правильный треугольник вписан шар. Найдите площадь поверхности шара, если образующая конуса равна 3 см.

Шар вписан в конус.

Осевое сечение конуса - правильный △АВР.

АР = РВ = АВ = 3 см

S поверхности шара - ?

Так как △АВР - правильный ⇒ он ещё и равнобедренный.

РО₁ - высота.

"Высота, проведённая из вершины равнобедренного треугольника к основанию равнобедренного треугольника, является его медианой и биссектрисой".

⇒ АО₁ = О₁В = 3/2 = 1,5 см, так как РО₁ - медиана.

Найдём высоту РО₁, по теореме Пифагора: (с = √(а² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты).

а = √(c² - b²) = √(3² - 1,5²) = (3√3)/2 (см).

Итак РО₁ = (3√3)/2 (см).

АО₁ = 1,5 (см).

РО₁ = 3√3/2 (см).

⇒ S△ABP = 1/2 · PO1 · AB = PO1 · AO1 = 1,5 · 3√3/2 = 9√3/4 (см²).

АР = РВ = АВ = 3 (cм).

p - полупериметр.

р = АР + РВ + АВ/2 = 3 + 3 + 3/2 = 4,5 (см).

R вписанного шара (ОО1) = S△ABP/p = 9√3/4 : 4,5 = √3/2 (см).

S поверхности шара = 4пR².

или

S поверхности шара = пD².

D = 2R

S поверхности шара = п(4 · (√3/2)²) = п(3/4 · 4) = 3п см²

S поверхности = п(√3/2 · 2)² = п((√3)²) = 3п см²