Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .
Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .
Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника
Определение
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
, .
Определение
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
, .
Определение
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
, .
Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла
С введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.
Например, из формулы: . Аналогично: .
Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .
Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника
При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.
Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом
Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:
Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника
Доказательство
Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.
Аналогично: .
Рассмотрим следующую важную задачу.
Задача
Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .
Доказать:.
Доказательство
(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .
Отсюда получаем: .
.
.
Доказано.
Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.
Основное тригонометрическое тождество
Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.
Основное тригонометрическое тождество: .
Примечание:
Доказательство
, тогда: (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).
Доказано.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.
Решение примера
Дано: – прямоугольный (), .
Найти:
Решение
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .
Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .
ответ: .
На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.
Список литературы
Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
При пересечении двух прямых образуется 4 угла, обозначим через 1,2,3,4 по часовой стрелке.
1) угол 1 + угол 2 не может равняться 70 градуас, т.к. они смежные, значит угол 1+угол 3 = 70 градусов, т.к. эти углы вертикальные, то угол 1 = 70:2=35 градусов. Тогда угол 2 = 180-угол 1 (по свойству смежных углов), угол 2 = 180-35=145 градусов.
ответ: 35 и 145.
2) Пусть угол 1 = 3 угла 2. Так как эти углы смежные, то по свойству смежных углов: угол 1 + угол 2 = 180,
3 угла 2 + угол 2 = 180
4 угла 2 = 180,
угол 2 = 45 градусов.
Тогда угол 1 равен 180-45=135
ответ 45 и 135.
3) угол 1 = угол 2 -35, тогда угол 2 - 35 + угол 2 = 180
2 угла 2 = 215
угол 2 = 107 градусов 30 минут,
угол 1 = 180 градусов - 107 градусов 30 минут = 72 градуса 30 минут
– катеты; AB=c – гипотенуза.
Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .
Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .
Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника
Определение
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
, .
Определение
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
, .
Определение
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
, .
Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла
С введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.
Например, из формулы: . Аналогично: .
Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .
Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника
При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.
Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом
Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:
Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника
Доказательство
Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.
Аналогично: .
Рассмотрим следующую важную задачу.
Задача
Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .
Доказать:.
Доказательство
(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .
Отсюда получаем: .
.
.
Доказано.
Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.
Основное тригонометрическое тождество
Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.
Основное тригонометрическое тождество: .
Примечание:
Доказательство
, тогда: (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).
Доказано.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.
Решение примера
Дано: – прямоугольный (), .
Найти:
Решение
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .
Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .
ответ: .
На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.
Список литературы
Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).
Xvatit.com (Источник).
Egesdam.ru (Источник).
Домашнее задание
№ 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.
Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен .
Связь числа и геометрии. Часть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур