Пусть данный треугольник ABC, в нем опущены высоты AK и BN, ортоцентр - O. Нарисуем точку, симметричную O относительно BC: продолжим OK на отрезок, равный OK, за точку K. Обозначим полученную точку L. Теперь необходимо доказать, что ablc - вписанный пусть ∠obk = a Δobl - равнобедренный, тк bk - высота и медиана => ∠kbl = ∠obk = a из Δbnc ∠nbc = 90 - ∠bcn из Δakc ∠kac = 90 - ∠kcn ∠kcn и ∠bcn - один и тот же угол => ∠kac = ∠nbc = a ∠lac = ∠cbl = a => они опираются на одну дугу и ablc - описанный => точка l - лежит на окружности, описанной около abc. оставшиеся 2 точки доказываются абсолютно аналогично
Объяснение:
Данный двугранный угол равен линейному SEO, где Е - середина стороны AD.
Квадрат со стороной 18 имеет диагональ 18 корней из 2, половина этой диагонали - отрезок ОА - равен 9 корней из 2. Из треугольника ASO находим:
SA = 18 корней из 2.
Поскольку в основании квадрат, то SA = SD, треугольник ASD равнобедренный с тремя известными нам сторонами: 18 корней из 2; 18 корней из 2; 18.
Высота, проведенная к основанию SE = 9 корней из 7.
Отрезок ОЕ = 18/2 = 9
Косинус угла SEO равен (корень из 7)/7
Искомый угол равен arccos√7/7.
Нарисуем точку, симметричную O относительно BC:
продолжим OK на отрезок, равный OK, за точку K. Обозначим полученную точку L.
Теперь необходимо доказать, что ablc - вписанный
пусть ∠obk = a
Δobl - равнобедренный, тк bk - высота и медиана =>
∠kbl = ∠obk = a
из Δbnc ∠nbc = 90 - ∠bcn
из Δakc ∠kac = 90 - ∠kcn
∠kcn и ∠bcn - один и тот же угол => ∠kac = ∠nbc = a
∠lac = ∠cbl = a => они опираются на одну дугу и ablc - описанный => точка l - лежит на окружности, описанной около abc.
оставшиеся 2 точки доказываются абсолютно аналогично