Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о свойствах окружности и треугольника.
1) Поскольку ND является диаметром окружности, он равен удвоенному радиусу. То есть ND = 2 * 9 см = 18 см.
2) Из условия задачи нам также известно, что ND = 13 см. Мы можем использовать это свойство, чтобы найти длину отрезка DM.
Сначала найдем длину NM: NM = ND - DM = 13 см - DM.
А также длину NF: NF = ND - DF = 13 см - DF.
Поскольку DF является диаметром окружности, его длина равна дважды радиусу, то есть DF = 2 * 9 см = 18 см.
Используя эти данные, мы можем записать уравнение: NM + MF = NF.
Подставим известные значения: 13 см - DM + MF = 18 см.
Перенесем MF на другую сторону уравнения и получим: 13 см - DM = 18 см - MF.
Теперь мы знаем, что DM = 18 см - MF.
3) Рассмотрим треугольник FAM. В этом треугольнике сторонами являются отрезки FA, AM и MF.
Поскольку FA и DM являются радиусами окружности, они равны ее радиусу. То есть FA = DM = 9 см.
Мы также знаем, что DM = 18 см - MF (из предыдущего пункта).
Подставим известные значения и получим: FA = 18 см - MF.
4) Теперь найдем периметр треугольника FAM, складывая длины его сторон:
Периметр = FA + AM + MF.
Подставим значения: Периметр = 9 см + AM + MF.
Мы уже знаем, что FA = DM = 9 см, поэтому заменим это значение: Периметр = DM + AM + MF.
Заменим также DM на 18 см - MF: Периметр = (18 см - MF) + AM + MF.
Сократим подобные слагаемые и получим: Периметр = 18 см + AM.
5) Нам осталось найти длину отрезка AM. Для этого воспользуемся свойством диаметра окружности, которое гласит, что он перпендикулярен к хорде.
Значит, отрезки AM и DF перпендикулярны друг другу, то есть образуют прямой угол.
В треугольнике FDM прямой угол находится при вершине D, поэтому AM является высотой треугольника FDM, опущенной на основание DF.
Из геометрических свойств мы знаем, что высота, опущенная на основание любого треугольника, делит его на два прямоугольных треугольника,
и отношение длины этой высоты к основанию равно геометрическому среднему для отрезков, на которые она делит основание.
В нашем случае высота AM делит основание DF на два отрезка MF и FM. А отношение длины AM к DF равно геометрическому среднему длин MF и FM:
AM / DF = sqrt(MF * FM).
Мы уже знаем, что DF = 18 см. Поэтому записываем: AM / 18 см = sqrt(MF * FM).
Известно также, что DM = 18 см - MF. Поэтому FM = DM - MF = (18 см - MF) - MF = 18 см - 2 * MF. Подставляем в уравнение: AM / 18 см = sqrt(MF * (18 см - 2 * MF)).
Теперь для решения уравнения мы запишем AM в виде 18 см - MF.
Получим уравнение: (18 см - MF) / 18 см = sqrt(MF * (18 см - 2 * MF)).
Возводим обе части уравнения в квадрат: [(18 см - MF) / 18 см]^2 = MF * (18 см - 2 * MF).
Раскрываем скобки на левой стороне: (18 см - MF)^2 / (18 см)^2 = MF * (18 см - 2 * MF).
1) Поскольку ND является диаметром окружности, он равен удвоенному радиусу. То есть ND = 2 * 9 см = 18 см.
2) Из условия задачи нам также известно, что ND = 13 см. Мы можем использовать это свойство, чтобы найти длину отрезка DM.
Сначала найдем длину NM: NM = ND - DM = 13 см - DM.
А также длину NF: NF = ND - DF = 13 см - DF.
Поскольку DF является диаметром окружности, его длина равна дважды радиусу, то есть DF = 2 * 9 см = 18 см.
Используя эти данные, мы можем записать уравнение: NM + MF = NF.
Подставим известные значения: 13 см - DM + MF = 18 см.
Перенесем MF на другую сторону уравнения и получим: 13 см - DM = 18 см - MF.
Теперь мы знаем, что DM = 18 см - MF.
3) Рассмотрим треугольник FAM. В этом треугольнике сторонами являются отрезки FA, AM и MF.
Поскольку FA и DM являются радиусами окружности, они равны ее радиусу. То есть FA = DM = 9 см.
Мы также знаем, что DM = 18 см - MF (из предыдущего пункта).
Подставим известные значения и получим: FA = 18 см - MF.
4) Теперь найдем периметр треугольника FAM, складывая длины его сторон:
Периметр = FA + AM + MF.
Подставим значения: Периметр = 9 см + AM + MF.
Мы уже знаем, что FA = DM = 9 см, поэтому заменим это значение: Периметр = DM + AM + MF.
Заменим также DM на 18 см - MF: Периметр = (18 см - MF) + AM + MF.
Сократим подобные слагаемые и получим: Периметр = 18 см + AM.
5) Нам осталось найти длину отрезка AM. Для этого воспользуемся свойством диаметра окружности, которое гласит, что он перпендикулярен к хорде.
Значит, отрезки AM и DF перпендикулярны друг другу, то есть образуют прямой угол.
В треугольнике FDM прямой угол находится при вершине D, поэтому AM является высотой треугольника FDM, опущенной на основание DF.
Из геометрических свойств мы знаем, что высота, опущенная на основание любого треугольника, делит его на два прямоугольных треугольника,
и отношение длины этой высоты к основанию равно геометрическому среднему для отрезков, на которые она делит основание.
В нашем случае высота AM делит основание DF на два отрезка MF и FM. А отношение длины AM к DF равно геометрическому среднему длин MF и FM:
AM / DF = sqrt(MF * FM).
Мы уже знаем, что DF = 18 см. Поэтому записываем: AM / 18 см = sqrt(MF * FM).
Известно также, что DM = 18 см - MF. Поэтому FM = DM - MF = (18 см - MF) - MF = 18 см - 2 * MF. Подставляем в уравнение: AM / 18 см = sqrt(MF * (18 см - 2 * MF)).
Теперь для решения уравнения мы запишем AM в виде 18 см - MF.
Получим уравнение: (18 см - MF) / 18 см = sqrt(MF * (18 см - 2 * MF)).
Возводим обе части уравнения в квадрат: [(18 см - MF) / 18 см]^2 = MF * (18 см - 2 * MF).
Раскрываем скобки на левой стороне: (18 см - MF)^2 / (18 см)^2 = MF * (18 см - 2 * MF).
Упрощаем и приводим подобные слагаемые: (18^2 - 2 * 18 * MF + MF^2) / 18^2 = MF * (18 - 2 * MF).
Домножаем обе части уравнения на 18^2: 18^2 - 2 * 18 * MF + MF^2 = 18^2 * MF - 2 * 18 * MF^2.
Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения: MF^2 + 2 * 18 * MF^2 - 18^2 * MF + 18^2 - 18^2 = 0.
Упрощаем уравнение: 3 * MF^2 - 18² * MF = 0.
Делим все члены уравнения на 3: MF^2 - 6 * 18 * MF = 0.
Факторизуем уравнение: MF * (MF - 6 * 18) = 0.
Учитывая, что MF не может быть отрицательным значением, и что MF ≠ 6 * 18 (так как длина отрезка MF меньше длины DF),
мы можем утверждать, что MF = 0.
То есть AM = 18 см - MF = 18 см.
Периметр треугольника FAM равен сумме длин его сторон:
Периметр = DM + AM + MF = (18 см - MF) + 18 см + 0 = 18 см + 18 см = 36 см.
Записываем ответ: периметр треугольника FAM равен 36 см.