В окружности с центром О проведен диаметр KM=14,4см, пересекающий хорду BD в точке A, причем A середина хорды. Угол между диаметром и радиусом равен 30°.Найдите длину хорды BD и периметр угла BOD.

Проведем в тр. АВС биссектрисы углов А и В: АК и ВМ. О - точка пересечения биссектрис.. Пусть угол, смежный углу С -  х., а острый угол между биссектрисами: ВОК = АОМ = а.

Найдем углы 4-угольника МОКС:

По свойству внешнего угла тр-ка:

ОКС = а + В/2 (внешний к тр. ВОК)

ОМС = а + А/2 (внешний к тр. АОК)

МОК = 180-а (смежный с углом а)

Еще пригодится соотношение между углами А и В  и а:

а = А/2  +  В/2 (внешний к тр. АОВ)                               (1)

Итак угол МСК 4-ника МОКС, с одной стороны равен 180 - х (как смежный углу х), с другой стороны: МСК = 360 - (ОКС+ОМС+МОК) ( так как сумма всех углов выпуклого 4-ника равна 360 гр). Получим уравнение:

360-(а+В/2+а+А/2+180-а) = 180-х

180 - а - (А+В)/2 = 180 - х

И с учетом (1) получим:

-2а = -х

х = 2а,   что и требовалось доказать

P.S.Если опять не получится здесь, чертеж вышлю на почту.

1) В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне (центральный угол опирающийся на сторону равен 360/6 = 60 гр). Высота правильного треугольника (она же радиус вписанной окр-ти):

h = Rкор3 /2 = r = кор3

Отсюда R = 2 = a.

S(A1A2A3) = (1/2) A1A2*A2A3*sin120 = (1/2)R^2 *(кор3)/2 = кор3

Тогда S*кор3 = 3

ответ: 3.

2) В треугольнике А1ОА4 угол А1ОА4 = 3*(360/8) = 3*45 = 135 гр.

S(A1OA4) = (1/2) R^2 *sin135 = R^2*кор2 /4 = 16кор2

Отсюда  R^2 = 64,   R = 8

Тр. А2ОА4 - прямоугольный, так как угол А2ОА4 = 2*(360/8) = 90 гр.

Катеты равны R=8.

S(A2OA4) = R^2 /2 = 64/2 = 32.

ответ: 32.