Два угла треугольника равны 40° и 52°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.
- - -
ΔАВС.
∠А = 40°.
∠В = 52°.
ВН₁ и АН₂ - высоты.
Точка О - ортоцентр (точка пересечения высот).
∠АОВ = ? (или ∠Н₁ОН₂, не важно, так как они равны как вертикальные).
Немного о расположении ортоцентра О :
Для начала найдём ∠С.
По теореме о сумме углов треугольника -
∠А + ∠В + ∠С = 180°
∠С = 180° - ∠А - ∠В
∠С = 180° - 40° - 52°
∠С = 88°.
Так как все углы ΔАВС - острые, то ортоцентр О лежит внутри ΔАВС.
Рассмотрим ΔСВН₁ - прямоугольный (так как ∠ВН₁С = 90° по определению высоты треугольника).
Тогда -
∠Н₁СВ + ∠Н₁ВС = 90°
∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ
∠Н₁ВС = 90° - 88°
∠Н₁ВС = 2°.
Теперь рассмотрим ΔОВН₂ - прямоугольный (так как ∠ОН₂В = 90°).
По выше сказанному -
∠ВОН₂ + ∠ОВН₂ = 90°
∠ВОН₂ = 90° - ∠ОВН₂
∠ВОН₂ = 90° - 2°
∠ВОН₂ = 88°.
∠ВОН₂ и ∠АОВ - смежные.
Следовательно -
∠ВОН₂ + ∠АОВ = 180°
∠АОВ = 180° - ∠ВОН₂
∠АОВ = 180° - 88°
∠АОВ = 92°.
92°.
Якщо ще актуально)
Дано: ABCD - паралелограм, АС - діагональ, ВН⟂АС, АН= 6 см, СН= 15 см, ВС–АВ= 7 см.
Знайти: S abcd.
Розв'язання.
Розглянемо трикутники АНВ і СНВ.
Вони прямокутні, а сторона ВН для них є спільним катетом. АН= 6 см, СН= 15 см, тому очевидно, що ВС>АВ.
Нехай АВ= х см, тоді ВС= (х+7) см.
Оскільки ВН - спільна сторона, тоді справедлива така рівність (через т.Піфагора у ΔAHB і ΔCHB):
АВ²–АН²= ВС²–НС²;
х²–6²= (х+7)²–15²;
х²–6²= х²+14х+49–225;
х²–х²–14х= 36+49–225;
–14х= –140;
14х= 140;
х= 10 (см)
Отже, АВ= 10 см, тоді:
ВН²= х²–6²= 10²–6²= 100–36= 64;
ВН= 8 см (–8 не може бути)
Розглянемо ΔABC:
AC= AH+HC= 6+15= 21 см
ВН= 8 см, ВН - висота ΔABC, оскільки ВН⟂АС.
Знайдемо площу ΔАВС:
S= ½•AC•BH;
S= ½•21•8= 84 (см²).
Діагоналі паралелограма ділять його на два рівних трикутники, тобто їх площі рівні.
SΔABC= SΔCDA= 84 см²
Звідси площа паралелограма ABCD дорівнює
S abcd= 2•SΔABC= 2•84= 168 (см²).
Відповідь: 168 см².
Два угла треугольника равны 40° и 52°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.
- - -
Дано :ΔАВС.
∠А = 40°.
∠В = 52°.
ВН₁ и АН₂ - высоты.
Точка О - ортоцентр (точка пересечения высот).
Найти :∠АОВ = ? (или ∠Н₁ОН₂, не важно, так как они равны как вертикальные).
Решение :Немного о расположении ортоцентра О :
Для начала найдём ∠С.
По теореме о сумме углов треугольника -
∠А + ∠В + ∠С = 180°
∠С = 180° - ∠А - ∠В
∠С = 180° - 40° - 52°
∠С = 88°.
Так как все углы ΔАВС - острые, то ортоцентр О лежит внутри ΔАВС.
- - -
Рассмотрим ΔСВН₁ - прямоугольный (так как ∠ВН₁С = 90° по определению высоты треугольника).
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.Тогда -
∠Н₁СВ + ∠Н₁ВС = 90°
∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ
∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ
∠Н₁ВС = 90° - 88°
∠Н₁ВС = 2°.
Теперь рассмотрим ΔОВН₂ - прямоугольный (так как ∠ОН₂В = 90°).
По выше сказанному -
∠ВОН₂ + ∠ОВН₂ = 90°
∠ВОН₂ = 90° - ∠ОВН₂
∠ВОН₂ = 90° - 2°
∠ВОН₂ = 88°.
- - -
∠ВОН₂ и ∠АОВ - смежные.
Сумма смежных углов равна 180°.Следовательно -
∠ВОН₂ + ∠АОВ = 180°
∠АОВ = 180° - ∠ВОН₂
∠АОВ = 180° - 88°
∠АОВ = 92°.
ответ :92°.
Якщо ще актуально)
Дано: ABCD - паралелограм, АС - діагональ, ВН⟂АС, АН= 6 см, СН= 15 см, ВС–АВ= 7 см.
Знайти: S abcd.
Розв'язання.
Розглянемо трикутники АНВ і СНВ.
Вони прямокутні, а сторона ВН для них є спільним катетом. АН= 6 см, СН= 15 см, тому очевидно, що ВС>АВ.
Нехай АВ= х см, тоді ВС= (х+7) см.
Оскільки ВН - спільна сторона, тоді справедлива така рівність (через т.Піфагора у ΔAHB і ΔCHB):
АВ²–АН²= ВС²–НС²;
х²–6²= (х+7)²–15²;
х²–6²= х²+14х+49–225;
х²–х²–14х= 36+49–225;
–14х= –140;
14х= 140;
х= 10 (см)
Отже, АВ= 10 см, тоді:
ВН²= х²–6²= 10²–6²= 100–36= 64;
ВН= 8 см (–8 не може бути)
Розглянемо ΔABC:
AC= AH+HC= 6+15= 21 см
ВН= 8 см, ВН - висота ΔABC, оскільки ВН⟂АС.
Знайдемо площу ΔАВС:
S= ½•AC•BH;
S= ½•21•8= 84 (см²).
Діагоналі паралелограма ділять його на два рівних трикутники, тобто їх площі рівні.
SΔABC= SΔCDA= 84 см²
Звідси площа паралелограма ABCD дорівнює
S abcd= 2•SΔABC= 2•84= 168 (см²).
Відповідь: 168 см².