В окружности с центром в точке О к хорде LM, равной радиусу окружности,
перпендикулярно проведен диаметр EK. Диаметр EK и хорда LM пересекаются в точке А.Длина отрезка LА равна 14,8 см.
a) постройте рисунок по условию задачи;
b) определите длину хорды LM;
c) определите длину диаметра EK;
d) найдите периметр треугольника ОLM.

Все обозначения - на чертеже, посмотрите внимательно.

х/b = n/m (из того, что AN - биссектриса)

x/b = h1/h (из подобия треугольников APD и AKB)

NP/NK = n/m (из подобия EPN и NKB)

NK = h/4; NP = 3*h/4 - h1;

Итак, получили

h1/h = (3*h/4 - h1)/(h/4) = (3 - 4*h1)/h = 3 - 4*(h1/h);

h1/h = 3/5;

Пусть площадь АВС S, тогда

Площадь АСК = S/2; площадь CNK  = (1/4)*(S/2) = S/8 (ну, я один раз это объясню - треугольники АСК и NCК имеют общую высоту СК и сторона КN = AК/4, поэтому площадь NCK = 1/4 от площади АСК)

Площадь ACN = 3*S/8;

Площадь АЕР = (3/5)^2 от площади АСК, поскольку это подобные треугольники, и стороны относятся, как 3/5, то есть площадь АЕР = (3/5)^2*(S/2).

Поэтому площадь четырехугольника EPNC равна 3*S/8 - (3/5)^2*(S/2); потом сосчитаем, пока же заметим, что нам осталось найти площадь треугольника NPD, которая равна (3/5)^2 от площади NCK (подобие и отношение сторон), то есть составляет (3/5)^2*S/8; собираем всё это, получаем, что искомая площадь треугольника CED, и, что то же самое - треугольника BED, равна

3*S/8 - (3/5)^2*(S/2) + (3/5)^2*S/8 = S*6/25;

Проверьте, может, я и налажал где :(((( но сам метод вроде правильный.

а можно и так, это побыстрее - Sаbе = S*3/5; Saed = (9/25)*S; Sbed = S*(3/5 - 9/25) =S*6/25. Значит, я не ошибся :))))

Ах, да, забыл на S на 20 заменить :))) Sbed = 6*20/25 = 24/5 = 4,8. 

1) отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. С другой стороны, он же является частью средней линии.

2) Пусть основания трапеции a и b. Тогда: (a-b)/2=12.

3) Т.к. средняя линия равна полусумме оснований, то (a+b)/2=24 (по условию)

4) Из двух вышеприведённых равенств составим систему: {a-b=24; a+b=48}. 2a=72; a=36; b=12

5) треугольники KAN подобен LAM (KN||LM)

6) LN/KN = 12/36 = 1/3; AL/AK = AM/AN = 1/3 (из подобия)

7) AK - AL = 10; AN - AM = 26 (боковые стороны в условии)

8) Из (6) и (7): AL=5; AM=13

9) треугольник ALM - прямоугольный (его стороны 5; 12 и 13 удовлетворяют теореме Пифагора)

10) Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен:

r=(a+b-c)/2, в нашем случае: r=(5+12-13)/2=4/2=2