в окружности с центром в точке O проведена хорда AB, равная 18 см. Если расстояние от центра до хорды равно 12 см, то радиус окружности равен?

 Итак, высота  ВН треугольника АВС, проведенная к основанию, равна 32. Она делится центром вписанной окружности в отношении 5:3. Значит ВО = 32:8*5=20, а ОН = 32:8*3=12. ОН, между прочим, это радиус вписанной окружности и ОН=ОК=ОМ. Из прямоугольного треугольника ОКВ найдем по Пифагору ВК=√(ВО²-ОК²) = √(400-144) = 16. Значит ВК=ВМ=16см. Отметим, что КС=НС=НА=АМ = Х (касательные из одной точки). Из прямоугольного тр-ка НВС по Пифагору ВН² = (ВК+Х)² -Х² или 32² = (16+Х)²-Х², откуда 32Х=768, а Х=24. Итак, мы нашли все стороны треугольника: АВ=ВС=(16+24)=40см, а АС=24+24=48.
Радиус описанной окружности находим по формуле:
R=a*b*c/4S, где a,b,c-стороны тр-ка, а S - его площадь.
S = (1/2)*ВН*АС = (1/2)*32*48 = 768.
R= 76800/4*768 = 25см.

 1.Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Решение.

 Треугольники HOBи KOB равны, т. к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=3

PABC=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=16+6=22

ответ: 22

2. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 8 и ВМ = 12.

S=1/2p*r

r=2s/p

Т.к треугольник ABC-равнобедренный, то AB=AC=30

По свойству касательных: АМ=АЕ=8, СЕ=СК=12,ВМ=КВ=12,значит ВС=24

По формуле Герона S треугольник = в корне p(p-a)(p-b)(p-c)