В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Дві рівні бічні грані перпендикулярні до вершини основи, а третя грань нахилена до неї під кутом φ. Визначити об’єм піраміди, якщо відстань вершини від основи рівнобедреного трикутника дорівнює d. Обчислити, якщо d=6 см, φ=60°, α=60°.

Пусть точка H-проекция точки AA1 на основание, A1H=h-высота призмы, угол A1AH равен фи. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Осталось найти площадь основания. AH=h*ctg "фи", c другой стороны, AH это 2/3 от высоты основания. Пусть высота основания(треугольника ABC) AD, она равна a*sqrt3/2, где a-cторона основания. Тогда AH=a*sqrt3/3=h*ctg "фи". a=sqrt3*h*ctg "фи".
Площадь равностороннего треугольника равна a*a*sqrt3/4=3ctg^2 "фи"*h^2*sqrt3/4.
Объём равен 3sqrt3/4*ctg^2 "фи"*h^3.
Если словами, то получился объём "3 корня из 3 умножить на котангенс в квадрате фи умножить на h в кубе делить на 4.

Центр квадрата - точка О - точка пересечения диагоналей.
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам:
ОА = ОВ.
Если проекции наклонных, проведенных из одной точки, равны, то равны и сами наклонные.
ОА - проекция МА на плоскость квадрата, ОВ - проекция МВ, значит
МА = МВ, т.е. ΔМАВ равнобедренный.

Пусть Н - середина АВ. Так как треугольник МАВ равнобедренный, то МН - его медиана и высота.
ОН = 0,5AD = 9 см как средняя линия ΔDAB.

ΔМОН: ∠МОН = 90°, по теореме Пифагора
               МН = √(МО² + ОН²) = √(144 + 81) = √225 = 15 см

Smab = AB · MH / 2 = 18 · 15 / 2 = 135 см²