В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 30 см и 12 см, а боковая поверхность равна 504 см 2 . Найдите объём пирамиды, если её высота проходит через
точку пересечения диагоналей основания.

АС та АВ похилі=4*корінь2, проводимо перпендикуляр АК до площини, ВК-проекція АВ на площину, СК-проекція АС на площину, кутВКС=90, кут ВАС=60, трикутникАВК=трикутникАКС як прямокутні за гіпотенузою (АВ=АС) і катетом (АК -загальний), ВК=СК, трикутник ВКС прямокутний, рівнобедрений

трикутник АВС рівнобедрений, АВ=АС, тоді кутАВС=кутАСВ= (180-кутВАС)/2=(180-60)/2=60, трикутник АВС рівносторонній, всі кути=60, АВ=АС=ВС=4*корінь2,

трикутник ВКС , ВК=СК=корінь(ВС в квадраті/2)=корінь(32/2)=4, 
трикутник АВК прямокутний АК=корінь(АВ в квадраті-ВК в квадраті)=корінь(32-16)=4 - відстань від точки до площини

Пусть углы будут  А В С, эти буквы легче набирать
центр описанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров, проведя котрые и соединив центр  описанной окружности с вершинами треугольника, получим три треугольника 
с основаниями равными длинам сторон а в с и высотами равными R радиусу
описанной окружности. Искомая площадь равна сумме площадей этих 3-х
треугольников

S=aR/2+bR/2+cR/2=R/2*(a+b+c)

Для определения сторон а в с воспользуемся теоремой синусов справедливой для вписанного треугольника

а/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

выразив стороны получим 
a=2RsinA
b=2RsinB
c=2RsinC

Тогда площадь равна:

S=R^2 *(sinA+sinB+sinC)