В параллелограмме ABCD (BC||AD) точка N делит сторону CD в отношении 1:2, считая от вершины C. Биссектриса угла ABC пересекает AN в точке K, а AD в точке M. Найти отношение площади треугольника ABK к площади параллелограмма ABCD, если AD:AB=2:1

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC; диагонали AC и BD перпендикулярны. сдвинем диагональ BD параллельно себе так, чтобы точка B попала в точку C; получаем прямоугольный треугольник ACE с AC=30 и CE=BD=40⇒его гипотенуза AE =50 (как легко заметить, этот треугольник - "удесятеренный" египетский. Если с этим у Вас проблемы, найдите гипотенузу по теореме Пифагора). Высота трапеции равна высоте этого прямоугольного треугольника, которая может быть вычислена по формуле произведение катетов делить на гипотенузу:

30·40/50=24

(эта формула следует из того, что площадь прямоугольного треугольника можно сосчитать как половина произведения катетов, а можно как половина произведения гипотенузы на высоту)

ответ:  24 

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:

4^2=2c⇒c=8⇒второй кусок гипотенузы равен 8-2=6.

Квадрат высоты прямого угла равен произведению отрезков гипотенузы:

h^2=2·6=12⇒h=√12=2√3

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту⇒

S=(1/2)·8·2√3=8√3

ответ: 8√3

Второй Треугольник ABC; C- прямой угол, BC=4; CD - высота, BD=2⇒в прямоугольном треугольнике BCD гипотенуза BC в два раза больше катета BD⇒∠BCD=30°⇒∠CBD=90-30=60°⇒∠CAB=90-60=30°⇒ гипотенуза AB в два раза больше катета BC⇒AB=4·2=8. Площадь треугольника найдем по формуле половина произведения двух сторон на синус угла между ними:

S=(1/2) BC·BA·sin B=(1/2)4·8·(√3)/2=8√3