Медиана делит сторону треугольника на 2 равные части. При построении трёх медиан в прямоугольном треугольнике, получится ещё 2 прямоугольных треугольника, но с другими катетами (медианы будут являться гипотенузами для каждого из этих треугольников) То есть применяя теорему Пифагора, получаем: (Медиана1)^2=a^2+(b/2)^2 (первая сторона делится на 2) (Медиана2)^2=(a/2)^2+b^2 (вторая сторона делится на 2) Но (Медиана3) вычисляется по свойствам прямоугольного треугольника (то есть не так как (Медиана1) и (Медиана2)) (Медиана3)^2=(c/2)^2=(a^2+b^2)/4 (то есть Медиана3=Половине гипотенузы, и одновременно является радиусом описанной окружности) Теперь осталось найти сумму трёх выражений: (a^2+(b/2)^2)+((a/2)^2+b^2)+((a^2+b^2)/4)=(a^2+b^2)*3/2=(3/2)*c^2 То есть при преобразовании снова применена теорема Пифагора.
Медиана делит сторону треугольника на 2 равные части.
При построении трёх медиан в прямоугольном треугольнике, получится ещё 2 прямоугольных треугольника, но с другими катетами (медианы будут являться гипотенузами для каждого из этих треугольников)
То есть применяя теорему Пифагора, получаем:
(Медиана1)^2=a^2+(b/2)^2 (первая сторона делится на 2)
(Медиана2)^2=(a/2)^2+b^2 (вторая сторона делится на 2)
Но (Медиана3) вычисляется по свойствам прямоугольного треугольника (то есть не так как (Медиана1) и (Медиана2))
(Медиана3)^2=(c/2)^2=(a^2+b^2)/4 (то есть Медиана3=Половине гипотенузы, и одновременно является радиусом описанной окружности)
Теперь осталось найти сумму трёх выражений:
(a^2+(b/2)^2)+((a/2)^2+b^2)+((a^2+b^2)/4)=(a^2+b^2)*3/2=(3/2)*c^2
То есть при преобразовании снова применена теорема Пифагора.
Дано
прямоуг. трап. ABCD
AC | BD - диагонали
/ ACD = 60
Док-ть
BD=1/2(BC+AD)
Док-во
1) Рассм. тр. ACD
/ ACD = 60
/ ADC = 90 (AC | BD)
⇒ / CAD = 180-90-60 = 30
2) Рассм. тр. AOD
/ AOD = 90 (AC | BD)
/ DAO = 30
⇒ / ADO = 180-30-90 = 60
Значит OD=1/2*AD (в прям. тр. с углами 30, 60, 90, катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы)
3) Рассм. тр BOC
/ BOC = 90 (AC | BD)
/ OCB = 30 (по условию трап. прям. - / BCD = 90)
⇒ / CBO = 180-90-30 = 60
Значит BO=1/2*BC ((в прям. тр. с углами 30, 60, 90, катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы)
3) BD=BO+OD
BD=1/2*AD+1/2*BC = 1/2(AD+BC)
ч.т.д.