В параллелограмме АВCD точка К-середина ВС, D-середина СР, М лежит на отрезке ВР и ВМ: МР - 1:3. Разложите по век- торам АВ и AD следующие векторы: а) DB;B 6) КA;B в) ВР: г) АМ )
Хорошо, ответим на ваш вопрос, разложив каждый из указанных векторов по векторам АВ и AD.
а) Вектор DB можно разложить по векторам АВ и AD следующим образом. Заметим, что DB = DC + CB, так как D и B лежат на одной стороне C параллелограмма.
1) Разложим вектор DC по векторам AD и AB. Вектор DC можно представить как разность векторов DA и AC. То есть, DC = DA - AC.
2) Разложим вектор CB по векторам AB и AD. Вектор CB также можно представить как разность векторов CA и AB. То есть, CB = CA - AB.
Теперь подставим найденные значения в разложение вектора DB:
DB = DC + CB = (DA - AC) + (CA - AB) = DA + CA - AC - AB.
b) Вектор КА можно разложить по векторам АВ и AD следующим образом. Заметим, что КА = КB + BA.
1) Разложим вектор КB по векторам AB и AD. Очевидно, что КB = AB.
2) Разложим вектор BA по векторам AB и AD. Вектор BA можно представить как разность векторов BD и DA. То есть, BA = BD - DA.
Теперь подставим найденные значения в разложение вектора КА:
KA = KB + BA = AB + (BD - DA) = AB + BD - DA.
в) Вектор ВР можно разложить по векторам АВ и AD следующим образом. Заметим, что ВР = ВМ + МР.
1) Разложим вектор ВМ по векторам AB и AD. Вектор ВМ можно представить как сумму векторов VA и AM. То есть, ВМ = VA + AM.
2) Разложим вектор МР по векторам AB и AD. Вектор МР можно представить как разность векторов ВР и ВМ. То есть, МР = ВР - ВМ.
Теперь подставим найденные значения в разложение вектора ВР:
ВР = ВМ + МР = (VA + AM) + (ВР - ВМ) = VA + AM + ВР - ВМ.
г) Вектор АМ можно разложить по векторам АВ и AD следующим образом. Заметим, что АМ = AB + BM.
1) Разложим вектор ВM по векторам AB и AD. Вектор ВM можно представить как разность векторов ВR и АR. То есть, ВM = ВR - АR.
2) Разложим вектор BM по векторам AB и AD. Вектор BM можно представить как разность векторов ВR и АМ. То есть, BM = ВR - АМ.
Теперь подставим найденные значения в разложение вектора АМ:
АМ = AB + BM = AB + (ВR - АМ) = AB + ВR - АМ.
Таким образом, разложение векторов DB, КА, ВР и АМ по векторам АВ и AD представляется следующим образом:
а) DB = DA + CA - AC - AB,
b) КА = AB + BD - DA,
в) ВР = VA + AM + ВР - ВМ,
г) АМ = AB + ВR - АМ.
Осталось только учесть, что в параллелограмме средние медианы делятся в отношении 2 к 1 (т.е. соотношение расположенных на них точек равно 2:1). Это значит, что величина вектора КВ равна половине вектора BA, а вектор DM равен половине вектора DC. Располагая этой информацией, можно пересчитать разложение векторов из предыдущих пунктов, если требуется.
а) Вектор DB можно разложить по векторам АВ и AD следующим образом. Заметим, что DB = DC + CB, так как D и B лежат на одной стороне C параллелограмма.
1) Разложим вектор DC по векторам AD и AB. Вектор DC можно представить как разность векторов DA и AC. То есть, DC = DA - AC.
2) Разложим вектор CB по векторам AB и AD. Вектор CB также можно представить как разность векторов CA и AB. То есть, CB = CA - AB.
Теперь подставим найденные значения в разложение вектора DB:
DB = DC + CB = (DA - AC) + (CA - AB) = DA + CA - AC - AB.
b) Вектор КА можно разложить по векторам АВ и AD следующим образом. Заметим, что КА = КB + BA.
1) Разложим вектор КB по векторам AB и AD. Очевидно, что КB = AB.
2) Разложим вектор BA по векторам AB и AD. Вектор BA можно представить как разность векторов BD и DA. То есть, BA = BD - DA.
Теперь подставим найденные значения в разложение вектора КА:
KA = KB + BA = AB + (BD - DA) = AB + BD - DA.
в) Вектор ВР можно разложить по векторам АВ и AD следующим образом. Заметим, что ВР = ВМ + МР.
1) Разложим вектор ВМ по векторам AB и AD. Вектор ВМ можно представить как сумму векторов VA и AM. То есть, ВМ = VA + AM.
2) Разложим вектор МР по векторам AB и AD. Вектор МР можно представить как разность векторов ВР и ВМ. То есть, МР = ВР - ВМ.
Теперь подставим найденные значения в разложение вектора ВР:
ВР = ВМ + МР = (VA + AM) + (ВР - ВМ) = VA + AM + ВР - ВМ.
г) Вектор АМ можно разложить по векторам АВ и AD следующим образом. Заметим, что АМ = AB + BM.
1) Разложим вектор ВM по векторам AB и AD. Вектор ВM можно представить как разность векторов ВR и АR. То есть, ВM = ВR - АR.
2) Разложим вектор BM по векторам AB и AD. Вектор BM можно представить как разность векторов ВR и АМ. То есть, BM = ВR - АМ.
Теперь подставим найденные значения в разложение вектора АМ:
АМ = AB + BM = AB + (ВR - АМ) = AB + ВR - АМ.
Таким образом, разложение векторов DB, КА, ВР и АМ по векторам АВ и AD представляется следующим образом:
а) DB = DA + CA - AC - AB,
b) КА = AB + BD - DA,
в) ВР = VA + AM + ВР - ВМ,
г) АМ = AB + ВR - АМ.
Осталось только учесть, что в параллелограмме средние медианы делятся в отношении 2 к 1 (т.е. соотношение расположенных на них точек равно 2:1). Это значит, что величина вектора КВ равна половине вектора BA, а вектор DM равен половине вектора DC. Располагая этой информацией, можно пересчитать разложение векторов из предыдущих пунктов, если требуется.