В пирамиде SABC высота SA=8. Известно, что SД=10, а перпендикуляр ВС=5, причем Д лежит на ВС. Найдите площадь треугольника АВС

△BAC, ∠BAC=48°
△BAL, △CAL - равнобедренные треугольники

Рассмотрим случаи:

1) ∠B=∠BAL

1.1) ∠С≠∠CAL, т.к. в противном случае BL=AL=CL, медиана равна половине стороны, следовательно проведена из прямого угла, но ∠BAC=48°.

1.2) ∠CAL=∠ALС
∠ALС=2∠B (внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним)
∠CAL=2∠B
∠BAL+∠CAL=48° <=> 3∠B=48° <=> ∠B=16°, ∠С=180°-∠B-∠BAC=116°

1.3) ∠С=∠ALС
∠ALС=2∠B (внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним)
∠С=2∠B
∠С+∠B=180°-48°=132° <=> 3∠B=132° <=> ∠B=44°, ∠С=88°

2) ∠BAL=∠ALB
2.1) ∠С=∠CAL. Аналогично 1.2
2.2) ∠CAL≠∠ALC. Углы при основаниях равнобедренных треугольников острые, следовательно не могут составлять развенутый угол.
2.3) ∠C≠∠ALC, см. 2.2

3) ∠B=∠ALB
3.1) ∠С=∠CAL. Аналогично 1.3
3.2) ∠CAL≠∠ALC, см. 2.2
3.3) ∠C≠∠ALC, см. 2.2

От середины АВ проведем  ЕК - среднюю линию трапеции.
ЕК делит треугольник ЕСD на два:ᐃ ЕСК и ᐃ ЕКD.
ЕК по свойству средней линии делит высоту СМ трапеции пополам,
и СН=МН=DТ=0,5*СМ (см. рисунок)
Треугольники ЕСК и ЕКD равновелики: площадь каждого равна 
половине произведения их общего основания ЕК, являющегося
средней линией трапеции АВСD, на половину её высоты.
S ᐃ ECD=S ᐃ ECK+S ᐃ EKD
S ᐃ ECD=0,5*EK*CM:2+0,5EK*CM:2
S ᐃ ECD=EK*CM:2
Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.
ЕК*СМ=2EK*CM:2
S ᐃ SECD=S ABCD:2, что и требовалось доказать.