в письменном виде Даны вершины треугольника А(-4,-5), В(4,1),С(-1/2,7) Найти а) уравнение высоты, проведенной из вершины С; б) уравнение медианы, проведенной из вершины А; в) уравнение биссектрисы внутреннего угла А
Для решения данной задачи, нам понадобится знание о том, что высота треугольника проходит через вершину и перпендикулярна соответствующей стороне, медиана проходит через вершину и делит сторону пополам, а биссектриса делит угол пополам и также проходит через вершину.
а) Уравнение высоты, проведенной из вершины С:
Для начала, найдем уравнение прямой, содержащей сторону AB. Для этого вычислим коэффициент наклона этой прямой.
Так как высота проводится из вершины С, то она будет перпендикулярна стороне AB и ее коэффициент наклона будет противоположным обратным значению коэффициента наклона стороны AB.
Коэффициент наклона высоты = -4/3.
Теперь, имея коэффициент наклона высоты и зная координаты вершины С, мы можем использовать формулу уравнения прямой для нахождения уравнения высоты.
Исходное уравнение прямой: y - y1 = m(x - x1), где m - коэффициент наклона высоты, (x1, y1) - координаты вершины.
Подставляя значения, получаем: y - 7 = (-4/3)(x - (-1/2)).
Упрощая, получаем: y - 7 = (-4/3)(x + 1/2).
b) Уравнение медианы, проведенной из вершины А:
Медиана проводится из вершины А и делит сторону BC пополам. Для начала, найдем середину стороны BC, используя формулу координат точки, лежащей на середине двух точек:
(x, y) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты вершин стороны.
(x, y) = ((4 + (-1/2))/2, (1 + 7)/2) = (7/4, 4).
Теперь, зная координаты вершины А и середину стороны BC, мы можем использовать формулу уравнения прямой для нахождения уравнения медианы.
Исходное уравнение прямой: y - y1 = m(x - x1), где m - коэффициент наклона медианы, (x1, y1) - координаты вершины.
Подставляя значения в уравнение прямой, получаем: y - (-5) = (36/23)(x - (-4)).
Упрощая, получаем: y + 5 = (36/23)(x + 4).
в) Уравнение биссектрисы внутреннего угла А:
Биссектриса внутреннего угла А будет проходить через вершину А и точку пересечения прямых, содержащих стороны AB и AC. Для нахождения этой точки, мы можем найти середину стороны AB и используя формулу для нахождения точки пересечения двух прямых.
Сначала найдем середину стороны AB, используя формулу координат точки, лежащей на середине двух точек:
(x, y) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты вершин стороны.
(x, y) = ((-4 + 4)/2, (-5 + 1)/2) = (0, -2).
Теперь используем формулу точки пересечения прямых:
Коэффициент наклона прямой AC (биссектриса) будет противоположным обратным значению коэффициента наклона стороны AB, так как биссектриса делит угол пополам.
Коэффициент наклона биссектрисы = -4/3.
Подставляя значения в формулу точки пересечения прямых, получаем:
Теперь, имея координаты вершины А и точку пересечения прямых, мы можем использовать формулу уравнения прямой для нахождения уравнения биссектрисы.
Исходное уравнение прямой: y - y1 = m(x - x1), где m - коэффициент наклона биссектрисы, (x1, y1) - координаты вершины.
Подставляя значения, получаем: y - (-5) = (-4/3)(x - (-4/3)).
Упрощая, получаем: y + 5 = (-4/3)(x + 4/3).
Таким образом, уравнение высоты, проведенной из вершины С, равно y - 7 = (-4/3)(x + 1/2), уравнение медианы, проведенной из вершины А, равно y + 5 = (36/23)(x + 4), уравнение биссектрисы внутреннего угла А равно y + 5 = (-4/3)(x + 4/3).
а) Уравнение высоты, проведенной из вершины С:
Для начала, найдем уравнение прямой, содержащей сторону AB. Для этого вычислим коэффициент наклона этой прямой.
Коэффициент наклона прямой AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - (-5)) / (4 - (-4)) = 6/8 = 3/4.
Так как высота проводится из вершины С, то она будет перпендикулярна стороне AB и ее коэффициент наклона будет противоположным обратным значению коэффициента наклона стороны AB.
Коэффициент наклона высоты = -4/3.
Теперь, имея коэффициент наклона высоты и зная координаты вершины С, мы можем использовать формулу уравнения прямой для нахождения уравнения высоты.
Исходное уравнение прямой: y - y1 = m(x - x1), где m - коэффициент наклона высоты, (x1, y1) - координаты вершины.
Подставляя значения, получаем: y - 7 = (-4/3)(x - (-1/2)).
Упрощая, получаем: y - 7 = (-4/3)(x + 1/2).
b) Уравнение медианы, проведенной из вершины А:
Медиана проводится из вершины А и делит сторону BC пополам. Для начала, найдем середину стороны BC, используя формулу координат точки, лежащей на середине двух точек:
(x, y) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты вершин стороны.
(x, y) = ((4 + (-1/2))/2, (1 + 7)/2) = (7/4, 4).
Теперь, зная координаты вершины А и середину стороны BC, мы можем использовать формулу уравнения прямой для нахождения уравнения медианы.
Исходное уравнение прямой: y - y1 = m(x - x1), где m - коэффициент наклона медианы, (x1, y1) - координаты вершины.
Коэффициент наклона медианы = (y - y1) / (x - x1) = (4 - (-5)) / (7/4 - (-4)) = 9/(7/4 + 16/4) = 9/(23/4) = 36/23.
Подставляя значения в уравнение прямой, получаем: y - (-5) = (36/23)(x - (-4)).
Упрощая, получаем: y + 5 = (36/23)(x + 4).
в) Уравнение биссектрисы внутреннего угла А:
Биссектриса внутреннего угла А будет проходить через вершину А и точку пересечения прямых, содержащих стороны AB и AC. Для нахождения этой точки, мы можем найти середину стороны AB и используя формулу для нахождения точки пересечения двух прямых.
Сначала найдем середину стороны AB, используя формулу координат точки, лежащей на середине двух точек:
(x, y) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты вершин стороны.
(x, y) = ((-4 + 4)/2, (-5 + 1)/2) = (0, -2).
Теперь используем формулу точки пересечения прямых:
x = ((m1 * x1) - (m2 * x2)) / (m1 - m2),
y = ((m1 * m2 * (x2 - x1)) + (m1 * y2) - (m2 * y1)) / (m1 - m2),
где m1 и m2 - коэффициенты наклона прямых.
Коэффициент наклона прямой AB = 3/4.
Коэффициент наклона прямой AC (биссектриса) будет противоположным обратным значению коэффициента наклона стороны AB, так как биссектриса делит угол пополам.
Коэффициент наклона биссектрисы = -4/3.
Подставляя значения в формулу точки пересечения прямых, получаем:
x = ((3/4 * (-4)) - (-4/3 * 0)) / (3/4 - (-4/3)) = (-12/4) / (3/4 + 4/3) = -3 / (3/4 + 4/3) = -3 / (9/12 + 16/12) = -3 / (25/12) = -36/25,
y = ((3/4 * (-5)) - (-4/3 * (-2))) / (3/4 - (-4/3)) = (-15/4) - (8/3 * 2) / (3/4 - (-4/3)) = (-15/4) - (16/3) / (3/4 + 4/3) = (-15/4) - (48/3) / (25/12) = (-60/12) - (96/12) / (25/12) = (-156/12) / (25/12) = -156/25.
Теперь, имея координаты вершины А и точку пересечения прямых, мы можем использовать формулу уравнения прямой для нахождения уравнения биссектрисы.
Исходное уравнение прямой: y - y1 = m(x - x1), где m - коэффициент наклона биссектрисы, (x1, y1) - координаты вершины.
Подставляя значения, получаем: y - (-5) = (-4/3)(x - (-4/3)).
Упрощая, получаем: y + 5 = (-4/3)(x + 4/3).
Таким образом, уравнение высоты, проведенной из вершины С, равно y - 7 = (-4/3)(x + 1/2), уравнение медианы, проведенной из вершины А, равно y + 5 = (36/23)(x + 4), уравнение биссектрисы внутреннего угла А равно y + 5 = (-4/3)(x + 4/3).