В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45° . Высота пирамиды равна 2. Найти площадь полной поверхности S и объём V пирамиды.

Трапеция в основании прямоугольная.

Её высота, она же боковая сторона, АС = ДЕ = 22 см

Грань АВТ наклонена к основанию на 60°, значит 

∠САТ = 60°

в ΔСАТ

∠СТА = 90 - 60 = 30°

Катет против угла в 30° в два раза меньше гипотенузы, 

АТ = 2*22 = 44 см

Высота пирамиды по теореме Пифагора

СТ = √(АТ² - АС²) = √(44² - 22²) = 22√3 см

S(CTA) = 1/2*СТ*СА = 1/2*22*22√3 = 242√3 см²

---

Плоскость ТДВ наклонена к плоскости основания по условию на 60°

Линия ДВ является линией пересечения плоскостей

∠СФТ является углом между плоскостями

∠СФТ = 60°

ФС = 22 см

---

в ΔСДФ

∠СДФ = 30°

∠СФД = 90°

СД = 2*ФС = 44 см

S(СДТ) = 1/2*СТ*СД = 1/2*22√3*44 = 484√3 см²

---

в ΔАВС

∠АВС = 15°

tg(15°) = 2-√3

ctg(15°) = 2+√3

АВ/АС = ctg(15°)

АВ = 22*(2+√3) см

АТ = 44 см

S(АВТ) = 1/2*АВ*АТ = 1/2*22*(2+√3)*44 = 968 + 484√3 см²

---

S(ДВТ) = S(ФВТ) - S(ФДТ) = S(АВТ) - S(ФДТ)

S(ФДТ) = 1/2*ФД*ФТ = 1/2*22√3*44 = 484√3 см²

S(ДВТ) = 968 + 484√3 - 484√3 = 968 см²

---

S(бок) = S(CTA)  + S(СДТ) + S(АВТ) + S(ДВТ)

S(бок) = 242√3 + 484√3 + 968 + 484√3 + 968 = 1936 + 1210√3 см²

Вот аналогичная задача с высотой трапеции 26

МН - диаметр, АМ=1

АВ в квадрате = АН х АМ , 3 = АН х 1, АН=3, МО=НО = радиус = (АН-АМ)/2=(3-1)/2=1

треугольник МВН прямоугольный, угол МВН=90, - опирается на диаметр=180/2=90, проводим высоту ВК на МН, МК=а, КН=2-а. МК/ВК = ВК/КН

ВК в квадрате = МК х КН, ВК в квадрате = а х (2-а) = 2а - а в квадрате

треугольник АВК прямоугольный, ВК в квадрате = АВ в квадрате - АК в квадрате

ВК в квадрате = 3 - (1+а) в квадрате = 3 - 1 - 2а - а в квадрате = 2 -2а - а вквадрате 

2а - а в квадрате =  2 -2а - а вквадрате 

4а=2

а=0,5 = МК, КН =2-0,5=1,5

ВК в квадрате = МК х КН = 0,5 х 1,5=0,75