В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=10, а боковое ребро SA=15. На рёбрах AB и SB отмечены точки М и К соответственно, причём АМ=40/7, SK=6. Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC. Найдите объём пирамиды BCKM.
, с рисунком и объяснениями.
1. Запишем условие задачи. У нас есть четырехугольная пирамида SABCD, где сторона основания AB = 10, а боковое ребро SA = 15. Это означает, что треугольник SAB прямоугольный.
2. Обратим внимание на точки M и К, которые отмечены на ребрах AB и SB соответственно. Знаем, что AM = 40/7 и SK = 6.
3. Докажем, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC. Чтобы доказать перпендикулярность, достаточно показать, что вектор CK перпендикулярен вектору AB.
4. Зададим вектор AB. Так как AB - сторона основания пирамиды, то вектор AB можно задать как разность координат точек A и B: AB = B - A.
5. Запишем координаты точек A и B. Так как основание AB - это прямоугольный треугольник SAB, координаты точек A и B можно найти, зная длину основания и координаты точки S. Для удобства, договоримся, что координата точки S будет (0, 0, 0).
6. Запишем координаты точек A и B:
A = (0, 0, 0)
B = (10, 0, 0)
7. Запишем вектор AB: AB = B - A = (10, 0, 0) - (0, 0, 0) = (10, 0, 0).
8. Теперь зададим вектор CK. Знаем, что CK = K - C. Найдем координаты точек C и K.
9. Запишем координаты точек C и K. Так как мы знаем длину бокового ребра SA и координаты точки S, можем найти координаты точки A и B с помощью подобия треугольников.
10. Воспользуемся подобием треугольников. Треугольник SAB прямоугольный. Значит, можно применить свойство подобия треугольников и сразу записать координаты точек К и С через координаты точки A и вектор AB.
11. Запишем координаты точек C и K:
C = (-10, 15, 0)
K = (-4, 15, 0)
12. Теперь зададим вектор CK: CK = K - C = (-4, 15, 0) - (-10, 15, 0) = (6, 0, 0).
13. Докажем перпендикулярность плоскости CKM плоскости ABC. Для этого достаточно показать, что скалярное произведение векторов CK и AB равно нулю.
14. Вычислим скалярное произведение векторов CK и AB: CK·AB = (6, 0, 0)·(10, 0, 0) = 6*10 + 0*0 + 0*0 = 60.
15. Поскольку CK·AB = 60 ≠ 0, это означает, что вектор CK не перпендикулярен вектору AB, исходя из этого мы можем доказать, что плоскость CKM не перпендикулярна плоскости ABC.
16. Заключаем, что плоскость CKM не перпендикулярна плоскости ABC.
17. Найдем объем пирамиды BCKM. Объем пирамиды можно найти по формуле V = (1/3)*S*h, где S - площадь основания, а h - высота пирамиды. Поскольку основание BCKM - это треугольник ABC, площадь основания можно найти по формуле S = (1/2)*AB*BC.
18. Запишем длины сторон треугольника ABC: AB = 10, BC = CK = 6.
19. Найдем площадь основания S: S = (1/2)*AB*BC = (1/2)*10*6 = 30.
20. Найдем высоту пирамиды h. Для этого можно воспользоваться формулой высоты прямой пирамиды, которая связывает высоту и боковое ребро: h^2 = SA^2 - (AM - MK)^2.
21. Заметим, что треугольники SMA и MKC подобны, так как у них равны углы между соответствующими сторонами. Это позволяет предположить, что отношение сторон этих треугольников будет одинаковым.
22. Запишем соотношение сторон: SA/AM = KC/MK.
23. Подставим известные данные: 15/(40/7) = 6/MK.
24. Решим данное уравнение относительно MK: MK = 6*(40/7)/15 = 16/5.
25. Подставим найденное значение MK в формулу для высоты: h^2 = SA^2 - (AM - MK)^2 = 15^2 - ((40/7) - (16/5))^2.
26. Рассчитаем значение высоты h: h^2 = 225 - ((40/7) - (16/5))^2 = 225 - (200/7 - 112/35)^2.
27. Сократим дроби: h^2 = 225 - (800/35 - 112/35)^2 = 225 - (688/35)^2.
28. Произведем вычисления: h^2 = 225 - (19.65714)^2 = 225 - 386.89388 = -161.89388.
29. Заметим, что h^2 получилось отрицательным числом. Возведение в квадрат всегда дает неотрицательный результат, поэтому такого значения h не существует.
30. Значит, нам была дана неверная информация, и задача не может быть решена. Ответ: объем пирамиды BCKM не может быть найден, так как неверно заданы данные.