В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°, а радиус окружности, описанной около основания, равен 2корня из3 см. Найдите площадь боковой по- верхности пирамиды. напишите решение подробно
ABC -- нижнее основание, A1B1C1 -- верхнее основание, D -- проекция точки C1 на плоскость основания ABC, C1D -- высота призмы, C1CD=45° AA1C1C и BB1C1C -- ромбы с острым углом 30°, AA1B1B -- квадрат Из треугольника C1DC: sin C1CD = C1D/C1C sin(45°)=4*корень(2) / C1C С1С=4*корень(2)/sin(45°)=4*корень(2)/(корень(2)/2)=4*2=8 Так как все боковые грани -- ромбы (квадрат -- это тоже ромб), то длины всех рёбер призмы равны между собой, следовательно, они равны 8. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей ромбов и квадрата. Sромба=AC*AA1*sin(30°)=8*8*1/2=32 Sквадрата=AB*AA1=8*8=64 Sбок=2*Sромба+Sквадрата=2*32+64=128
Через точку D, лежащую на радиусе ОА окружности с центром О, проведена хорда ВС, перпендикулярная к ОА, а через точку В проведена касательная к опружности, пересекающая прямую ОА в точкп Е. Докажите, что луч ВА - биссектриса угла СВЕ.
Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Угол АВЕ образован касательной ВЕ и хордой ВА ⇒ угол АВЕ равен половине величины дуги АВ. Соединив О с В и С, получим равнобедренный треугольник ВОС ( образован радиусами) Радиус ОА перпендикулярен ВС по условию и является высотой треугольника ВОС, а т.к. треугольник равнобедренный, то и биссектрисой угла ВОС; след, ∠АОС=∠АОВ, следовательно, и дуги ВА и АС, на которые опираются центральные углы АОВ и АОС, равны Угол АВС - вписанный. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что центральный, равен половине его величины (половине величины дуги. на которую он опирается) Угол АВС опирается на ту же дугу, что центральный ∠АОС и равен половине величины этой дуги. Но угол АОВ опирается на дугу той же величины ( центральные углы ВОА и АОС равны, и дуги, на которые они опираются, тоже равны), т.е.∪АВ = ∪ АС Т.к. углы АВЕ и АВС равны половине равных дуг, ⇒ эти углы равны. Следовательно, луч ВА, делящий угол СВЕ на два равных, - биссектриса этого угла, ч.т.д.
ABC -- нижнее основание, A1B1C1 -- верхнее основание, D -- проекция точки C1 на плоскость основания ABC, C1D -- высота призмы, C1CD=45°
AA1C1C и BB1C1C -- ромбы с острым углом 30°, AA1B1B -- квадрат
Из треугольника C1DC:
sin C1CD = C1D/C1C
sin(45°)=4*корень(2) / C1C
С1С=4*корень(2)/sin(45°)=4*корень(2)/(корень(2)/2)=4*2=8
Так как все боковые грани -- ромбы (квадрат -- это тоже ромб), то длины всех рёбер призмы равны между собой, следовательно, они равны 8.
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей ромбов и квадрата.
Sромба=AC*AA1*sin(30°)=8*8*1/2=32
Sквадрата=AB*AA1=8*8=64
Sбок=2*Sромба+Sквадрата=2*32+64=128
Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.
Угол АВЕ образован касательной ВЕ и хордой ВА ⇒
угол АВЕ равен половине величины дуги АВ.
Соединив О с В и С, получим равнобедренный треугольник ВОС ( образован радиусами)
Радиус ОА перпендикулярен ВС по условию и является высотой треугольника ВОС, а т.к. треугольник равнобедренный, то и биссектрисой угла ВОС; след,
∠АОС=∠АОВ, следовательно, и дуги ВА и АС, на которые опираются центральные углы АОВ и АОС, равны
Угол АВС - вписанный. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что центральный, равен половине его величины (половине величины дуги. на которую он опирается)
Угол АВС опирается на ту же дугу, что центральный ∠АОС и равен половине величины этой дуги.
Но угол АОВ опирается на дугу той же величины ( центральные углы ВОА и АОС равны, и дуги, на которые они опираются, тоже равны),
т.е.∪АВ = ∪ АС
Т.к. углы АВЕ и АВС равны половине равных дуг, ⇒ эти углы равны. Следовательно, луч ВА, делящий угол СВЕ на два равных, - биссектриса этого угла, ч.т.д.