В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна √ 10, а боковое ребро равно 5. Найдите расстояние между прямыми AS и BC.
подробное решение)Заранее

Дано:

SABC - правильная треугольная пирамида

SO - высота      SO⊥(ABC)

AB = BC = AC = √10

SA = SB = 5

-------------------------------------------------------------------

Найти:

р(AS, BC) - ?

ΔABC - равносторонний, поэтому:

AO = AB/√3 = √10/√3 × √3/√3 = √30/3

SA² = SO² + AO² ⇒ SO = √SA² - AO² - теорема Пифагора

SO = √5² - (√30/3)² = √25 - 30/9 = √225-30/9 = √195/9 = √195/3

Теперь мы находим объем Пирамиды:

V = 1/3 × Sосн × SO = 1/3 × AB²√3/4 × SO = 1/3 ×(√10)²×√3/4 × √195/3 = 1/3 × 10√3/4 × √195/3 = 1/3 × 5√3/2 × √195/3 = 5√585/18 = 5×√9×65/18 = 5×3√65/18 = 15√65/18 = 5√65/6

Но с другой стороны можно и так записать формулу:

V = 1/3 × S(ΔBCS) × h (1), где h – искомое расстояние ⇒ р(AS, BC) = h

Проведем SM⊥BC ⇒ SM = h.

Так как ΔSMB - прямоугольный (∠SMB = 90°), тогда используется по теореме Пифагора:

SB² = SM² + MB² ⇒ SM = √SB² - MB² - теорема Пифагора

MB = BC/2 = √10/2

SM = √5² - (√10/2)² = √25 - 10/4 = √100-10/4 = √90/4 = √90/2 = √9×10/2 = 3√10/2

И теперь находим площадь ΔSBC:

S(ΔSBC) = 1/2 × SM × BC = 1/2 × 3√10/2 × √10 = 30/4 = 15/2

И теперь мы находим высоту из объема пирамиды (1):

V = 1/3 × S(ΔBCS) × h ⇒ h = 3V/S(ΔBCS) - нахождение высоты ΔSBC

h = 3 × 5√65/6 / 15/2 = 5√65/2 / 15/2 = 5√65/12 = √65/3 ⇒ SM = р(AS, BC) = h = √65/3

ответ: р(AS, BC) = √65/3

P.S. Рисунок показан внизу↓