В правильной треугольной пирамиде SABC все рёбра равны. Точки M и N - середины рёбер SA и SC.
а) В каком отношении плоскость BMN делит высоту SH пирамиды?
б) Найдите угол между плоскостью BMN и основанием пирамиды, если рёбра пирамиды равны 12.

Треугольник, периметр которого равен 18 см, длится биссектрисой на два треугольника, периметр которых равны 12 см и 15 см. Найдите биссектрису этого треугольника.

(И напишите условие задачи

Объяснение:

Дано : ΔАВС, АД-биссектриса, Д∈ВС. Р( АВС)=18 см, Р(АДВ)=12 см,

Р (АДС)=15 см.

Найти : длину отрезка АД.

Решение.

Р(АДВ)=АВ+ВД+ДА=12

Р (АДС)=АС+СД+ДА=15 .    Получили систему :

[АВ+ВД+ДА=12

{АС+СД+ДА=15  сложим почленно и учтем, что ВД+СД=ВС.

АВ+АС+ВС+2*ДА=27 ,

Р( АВС)+2*ДА=27  ,

18+2*ДА=25  ,

2*ДА=9  ,

ДА=4,5 см .

Радиус вписанной окружности в ромб равен высоте, проведенной из центра ромба на его сторону.
Пусть сторона ромба с две полудиагонали образуют прямоугольный треугольник АВС с катетами АС и ВС.
Найдём сторону ромба (это АС).
АС = √(144² + 42²) = √(20736 + 1764) = √22500 = 150.
Площадь треугольника  можно записать двумя разными как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту h.
То есть:
h*150 = 42*144.
Отсюда искомая величина равна:
h = 42*144/150 =  6048 / 150 = 1008 / 25 =  40,32.