В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 найдите угол между векторами: а) AB и СС1; б) AB и B1C1

Основание правильной треугольной призмы - правильный треугольник, а боковые грани - равные прямоугольники.

Следовательно, диагонали боковых граней также равны.

Тогда по теореме косинусов в треугольнике АВ1С имеем:

АС² = 2d² - 2d²Cosβ = 2d²(1-Cosβ).

АС = d√(2(1-Cosβ)).

Высота призмы (АА1) равна по Пифагору: АА1 = √(d² - 2d²(1-Cosβ)).

Площадь основания So = (√3/4)*a² (формула, где а - сторона треугольника).

So =  (√3/4)*2d²(1-Cosβ).

Площадь боковой грани Sг = AC*AA1 = d√(2(1-Cosβ))*d√(1 - 2(1-Cosβ)).

Площадь полной поверхности призмы - это сумма двух площадей оснований и трех боковых граней.

Sп = (√3/4)*4d²(1-Cosβ) + 3d²√(2(1-Cosβ))*√(1 - 2(1-Cosβ)) или

Sп = √3*d²*(1-Cosβ) + 3d²*√(2(1-Cosβ))*√(1 - 2(1-Cosβ))  или

Sп = d²*(√3*(1-Cosβ) + 3*√[(2(1-Cosβ))*(1-2(1-Cosβ))]

Проведем С₁А₁. С₁А₁║АС, так как АС₁=СА₁, ∠ВАС=∠АСВ (треугольник равнобедренный). Из параллельности С₁А₁║АС, следует, что СС₁ как секущая образует равные углы ∠АСС₁ = ∠СС₁А₁=40° (накрест лежащие углы).

Медианы равнобедренного треугольника точкой пересечения делятся на отрезки, соотношение длин которых 2:1, а так как АА₁=СС₁, то и отрезки ОС₁=ОА₁ и СО=АО. Обозначим стороны  ОС₁=ОА₁ за х, тогда СО=АО=2х, а искомая медиана СС₁=3х.

Из точки О опустим высоту ОО₁ на С₁А₁. ОО₁ также является медианой ΔОС₁А₁, . Найдем С₁О₁ как катет прямоугольного ΔОС₁О₁.

С₁О₁=х·cosOC₁O₁=x·cos40°.

С₁А₁=2·С₁О₁=2x·cos40°.

По теореме косинусов из ΔСС₁А₁ найдем х.

6²=(2x·cos40°)²+9х²-2·3х·2x·cos40°·cos40°

36=х²·(9-8·cos²40°)

х=6/√(9-8·cos²40°)

СС₁=3х=18/√(9-8·cos²40°)≈8,67 см

ответ: СС₁=18/√(9-8·cos²40°)

(задача проверена графическим методом. всё совпало)