В прямоугольнике диагонали равны m, острый угол между ними равен φ. Прямоугольник вращается вокруг меньшей стороны. Определите объем тела вращения. прикрепляю варианты ответа
Для решения данной задачи, нужно использовать формулу объема тела вращения. Объемом тела вращения называется объем, образованный при вращении некоторой плоской фигуры вокруг некоторой оси.
Дано, что вращается прямоугольник, диагонали которого равны m, а острый угол между ними равен φ. Для начала, нам нужно найти высоту прямоугольника.
Высоту прямоугольника можно найти с помощью тригонометрических функций. Так как мы знаем длину диагонали и острый угол между ними, мы можем применить функцию синуса. Для данной задачи косинус будет более удобным, так как он связан с остротой угла.
Согласно свойствам прямоугольного треугольника, косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае, гипотенуза - это длина диагонали, а прилежащий катет будет высотой прямоугольника. Тогда можем записать уравнение:
cos(φ) = высота / m
Переобразуем уравнение, чтобы высота была выражена через известные значения:
высота = m * cos(φ)
Теперь, когда у нас есть высота прямоугольника, мы можем использовать формулу объема тела вращения. Формула состоит из интеграла, который позволяет найти объем фигуры, полученной при вращении определенной кривой вокруг оси.
Объем тела вращения V можно найти через определенный интеграл:
V = ∫(от a до b) A(y) dy,
где A(y) - площадь поперечного сечения фигуры, y - координата на оси, a и b - пределы интегрирования.
В нашем случае, мы создаем тело вращения при вращении прямоугольника вокруг его меньшей стороны, таким образом, поперечное сечение будет кругом с радиусом, равным высоте прямоугольника.
Площадь поперечного сечения круга A(y) можно найти с помощью формулы:
A(y) = π * (высота)^2
Теперь нам нужно определить пределы интегрирования, т.е. пределы, в которых происходит движение фигуры при вращении. Так как прямоугольник вращается вокруг меньшей стороны, длина этой стороны будет оставаться постоянной и перпендикулярной оси вращения. Тогда мы можем представить прямоугольник как отрезок на оси от 0 до высоты прямоугольника.
Таким образом, пределы интегрирования будут от 0 до высоты прямоугольника, которую мы нашли ранее: a = 0 и b = m * cos(φ).
Подставим все значения в формулу объема тела вращения:
V = ∫(от 0 до m * cos(φ)) π * (высота)^2 dy
Упростим выражение:
V = π * ∫(от 0 до m * cos(φ)) (m * cos(φ))^2 dy
V = π * ∫(от 0 до m * cos(φ)) m^2 * cos^2(φ) dy
V = π * m^2 * cos^2(φ) * ∫(от 0 до m * cos(φ)) dy
V = π * m^2 * cos^2(φ) * (y от 0 до m * cos(φ))
Раскроем интеграл:
V = π * m^2 * cos^2(φ) * [y] от 0 до m * cos(φ)
V = π * m^2 * cos^2(φ) * (m * cos(φ) - 0)
Упростим выражение:
V = π * m^3 * cos^3(φ)
Таким образом, объем тела вращения равен π * m^3 * cos^3(φ).
Дано, что вращается прямоугольник, диагонали которого равны m, а острый угол между ними равен φ. Для начала, нам нужно найти высоту прямоугольника.
Высоту прямоугольника можно найти с помощью тригонометрических функций. Так как мы знаем длину диагонали и острый угол между ними, мы можем применить функцию синуса. Для данной задачи косинус будет более удобным, так как он связан с остротой угла.
Согласно свойствам прямоугольного треугольника, косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае, гипотенуза - это длина диагонали, а прилежащий катет будет высотой прямоугольника. Тогда можем записать уравнение:
cos(φ) = высота / m
Переобразуем уравнение, чтобы высота была выражена через известные значения:
высота = m * cos(φ)
Теперь, когда у нас есть высота прямоугольника, мы можем использовать формулу объема тела вращения. Формула состоит из интеграла, который позволяет найти объем фигуры, полученной при вращении определенной кривой вокруг оси.
Объем тела вращения V можно найти через определенный интеграл:
V = ∫(от a до b) A(y) dy,
где A(y) - площадь поперечного сечения фигуры, y - координата на оси, a и b - пределы интегрирования.
В нашем случае, мы создаем тело вращения при вращении прямоугольника вокруг его меньшей стороны, таким образом, поперечное сечение будет кругом с радиусом, равным высоте прямоугольника.
Площадь поперечного сечения круга A(y) можно найти с помощью формулы:
A(y) = π * (высота)^2
Теперь нам нужно определить пределы интегрирования, т.е. пределы, в которых происходит движение фигуры при вращении. Так как прямоугольник вращается вокруг меньшей стороны, длина этой стороны будет оставаться постоянной и перпендикулярной оси вращения. Тогда мы можем представить прямоугольник как отрезок на оси от 0 до высоты прямоугольника.
Таким образом, пределы интегрирования будут от 0 до высоты прямоугольника, которую мы нашли ранее: a = 0 и b = m * cos(φ).
Подставим все значения в формулу объема тела вращения:
V = ∫(от 0 до m * cos(φ)) π * (высота)^2 dy
Упростим выражение:
V = π * ∫(от 0 до m * cos(φ)) (m * cos(φ))^2 dy
V = π * ∫(от 0 до m * cos(φ)) m^2 * cos^2(φ) dy
V = π * m^2 * cos^2(φ) * ∫(от 0 до m * cos(φ)) dy
V = π * m^2 * cos^2(φ) * (y от 0 до m * cos(φ))
Раскроем интеграл:
V = π * m^2 * cos^2(φ) * [y] от 0 до m * cos(φ)
V = π * m^2 * cos^2(φ) * (m * cos(φ) - 0)
Упростим выражение:
V = π * m^3 * cos^3(φ)
Таким образом, объем тела вращения равен π * m^3 * cos^3(φ).