В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AA1 = 4, A1D1 = 6, C1D1 = 6, найдите тангенс угла между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B1C1. Решить задачу с векторов.

Биологические ресурсы. Атлантический океан даёт 2/5 мирового улова и доля его с годами уменьшается. В субантарктических и антарктических водах промысловое значение имеют нототении, путассу и другие, в тропическом поясе — макрель, тунцы, сардина, в областях холодных течений — анчоусы, в умеренных широтах северного полушария — сельдь, треска, пикша, палтус, морской окунь. В 1970-х годах вследствие перелова некоторых видов рыб объёмы промысла резко сократились, но после введения строгих лимитов рыбные запасы понемногу восстанавливаются. В бассейне Атлантического океана действует несколько международных конвенций по рыболовству, ставящих своей целью эффективное и рациональное использование биологических ресурсов, на основе применения научно обоснованных мер по регламентации промысла.

Прямая параллельная плоскости тогда и только тогда, когда прямая не пересекается с плоскостью и параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая AD параллельна прямой BC, лежащей в плоскости BMC. Осталось доказать, что прямая AD не пересекается с BMC, то есть, не имеет с этой плоскостью общих точек. Очевидно, прямые AD и BC не имеют общих точек. Плоскости ABC и BMC пересекаются по прямой BC, то есть, все общие точки этих плоскостей лежат на ВС. Предположим, что AD пересекается с BMC в точке X, но тогда точка Х лежит как в плоскости ВМС, так и в плоскости АВС, поскольку прямая AD целиком лежит в плоскости ABC. Значит, точка Х - общая точка двух плоскостей, но тогда она лежит на прямой BC. Получили противоречие с тем, что прямые AD и BC общих точек не имеют. Значит, AD параллельна BMC.