В прямоугольном треугольнике MNG высота GDGD , проведенная из прямого угла, равна 4,24,2 . Найди значение гипотенузы MNMN , если один из её отрезков, на которые делит высота GDGD , равен 33 .
Первое, что нетрудно доказывается, --- треугольник АВК прямоугольный. Площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катетов))) гипотенуза АВ = 4 --это очевидно из получившейся трапеции... а чтобы найти катеты не хватает известных углов))) на рисунке есть два равных треугольника: треугольник АВК равен половине равнобедренного треугольника с боковыми сторонами 4 ---по гипотенузе и острому углу))) из этого очевидно: АК = 2*КВ по т.Пифагора 4х² + х² = 16 ---> 5x² = 16 S(ABK) = (1/2)*x*2x = x² = 16/5 = 3.2
Пусть мы имеем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и высотой АД. Примем АД = 1, а ВС = 4. Обозначим ВД за х, а ДС за 4-х . Угол АВД равен углу ДАС как взаимно перпендикулярные. Приравняем тангенсы этих углов: 1/х =(4-х)/1. Получаем квадратное уравнение х²-4х+1=0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=(-4)^2-4*1*1=16-4=12;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√12-(-4))/(2*1) = (√12+4)/2=2√3/2+4/2 = 2+√3 ≈ 3.7320508;x₂=(-√12-(-4))/(2*1)=(-√12+4)/2=-2√3/2+4/2 = 2-√3 ≈ 0.2679492 этот корень равен 4-х, то есть это значение ДС.
Теперь находим углы В и С. Угол В = arc tg(1/(2+√3)) = arc tg 0.267949 = 0.261799 радиан =15°. Угол С = arc tg(1/(2-√3)) = arc tg 3.732051 = 1.308997 радиан = 75°.
Площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катетов)))
гипотенуза АВ = 4 --это очевидно из получившейся трапеции...
а чтобы найти катеты не хватает известных углов)))
на рисунке есть два равных треугольника:
треугольник АВК равен половине равнобедренного треугольника с боковыми сторонами 4 ---по гипотенузе и острому углу)))
из этого очевидно: АК = 2*КВ
по т.Пифагора
4х² + х² = 16 ---> 5x² = 16
S(ABK) = (1/2)*x*2x = x² = 16/5 = 3.2
Обозначим ВД за х, а ДС за 4-х .
Угол АВД равен углу ДАС как взаимно перпендикулярные.
Приравняем тангенсы этих углов:
1/х =(4-х)/1.
Получаем квадратное уравнение х²-4х+1=0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-4)^2-4*1*1=16-4=12;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√12-(-4))/(2*1) = (√12+4)/2=2√3/2+4/2 = 2+√3 ≈ 3.7320508;x₂=(-√12-(-4))/(2*1)=(-√12+4)/2=-2√3/2+4/2 = 2-√3 ≈ 0.2679492 этот корень равен 4-х, то есть это значение ДС.
Теперь находим углы В и С.
Угол В = arc tg(1/(2+√3)) = arc tg 0.267949 = 0.261799 радиан =15°.
Угол С = arc tg(1/(2-√3)) = arc tg 3.732051 = 1.308997 радиан = 75°.