Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Т.е., угол ВАD = углу ВСЕ
АВ = ВС, т. к. Δ АВС - равнобедренный
АD= ЕС - по условию.
Δ АВD = Δ СВЕ по первому признаку равенства треугольников ( по 2-м сторонам и углу между ними)
Следователь но и угол АВD = углу СВЕ, ч.т.д.
4. ΔSBT = Δ SAT по 2-ому признаку равенства треугольников ( по стороне и двум углам, прилегающим к ней)
Углы равны по условию, а ST - общая сторона
Т.к. треугольники равны, то и SB = SA, тогда
ΔSBK = Δ SKA по 1-ому признаку равенства треуг. ( по 2-м сторонам и углу меду ними : SB =SA, SK - общая сторона, ∠BSK = ∠ASK). Следовательно, ВК = КА, ч.т.д.
5 Точку пересечения медианы См с прямой, проведенной из вершины А , обозначим буквой К.
1) Медиана делит сторону пополам, т.е., ВМ = МА =18 см : 2 = 9см
2) Рассмотрим Δ АМК и ΔАКС
МК = КС по условию,
АК -общая сторона
∠МКА = ∠АКС = 90 ̊
Δ АМК = ΔАКС по 2-м сторонам и углу между ними ( 1 признак равенства)
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
Объяснение:
1. АВ = АС и ВD = CD по условию
АD - общая сторона. Теугольники равны по 3- ему признаку равенства треугольников( если все три стороны треуг. равны, то равны и треуг.)
2. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.
Пусть а - длина боковой стороны, в - основание. Тогда периметр равен:
Р = а +а +в = 2а +в.
Но, по условию а =в +2, подставляя значение а в уравнение, получаем:
Р = 2(в + 2) +в = 3в + 4, откуда
3в = Р - 4
в = (Р -4) /3 = ( 40-4) /3 = 36/3 =12 (см) - основание треугольника
а = в+2 = 12 +2 =14 см
3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Т.е., угол ВАD = углу ВСЕ
АВ = ВС, т. к. Δ АВС - равнобедренный
АD= ЕС - по условию.
Δ АВD = Δ СВЕ по первому признаку равенства треугольников ( по 2-м сторонам и углу между ними)
Следователь но и угол АВD = углу СВЕ, ч.т.д.
4. ΔSBT = Δ SAT по 2-ому признаку равенства треугольников ( по стороне и двум углам, прилегающим к ней)
Углы равны по условию, а ST - общая сторона
Т.к. треугольники равны, то и SB = SA, тогда
ΔSBK = Δ SKA по 1-ому признаку равенства треуг. ( по 2-м сторонам и углу меду ними : SB =SA, SK - общая сторона, ∠BSK = ∠ASK). Следовательно, ВК = КА, ч.т.д.
5 Точку пересечения медианы См с прямой, проведенной из вершины А , обозначим буквой К.
1) Медиана делит сторону пополам, т.е., ВМ = МА =18 см : 2 = 9см
2) Рассмотрим Δ АМК и ΔАКС
МК = КС по условию,
АК -общая сторона
∠МКА = ∠АКС = 90 ̊
Δ АМК = ΔАКС по 2-м сторонам и углу между ними ( 1 признак равенства)
А значит АМ = АС =9см