1) Около любого ромба можно описать окружность.
Неверно, так как окружность можно описать около четырехугольника, сумма противолежащих углов которого равна 180°, а в ромбе противолежащие углы равны, и, если они не прямые (частный случай), то их сумма не равна 180°.
2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
Неверно. В любой треугольник можно вписать единственную окружность.
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.
Неверно. Центр описанной около треугольника окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Неверно. Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения его биссектрис.
У любого параллелограмма противоположные углы равны и стороны противоположные равны. Сумма всех углов параллелограмма равна 360°.
АВСД - параллелограмм, ∠А=∠С, ∠В=∠Д ∠А+∠В+∠С+∠Д=360° Допустим, что ∠В=∠Д=107° Значит ∠А+∠В+∠С+∠Д=360° и ∠В=∠Д, значит ∠А+107°+∠С+107°=360° ∠А+∠С=360°-214° 2∠А=146° ∠А=∠С=146°/2 ∠А=∠С=73°.
Периметр параллелограмма = сумме всех его сторон. Допустим, что ВК - биссектриса, а она делит угол пополам, значит ∠АВК=∠СВК=0,5*∠АВС=0,5*107°=53,5°.
Рассмотрим треугольник АВК, в нем ∠А=73° ∠В=53,5°. АК=8 см
Сумма углов любого треугольника равна 180°, то есть ∠А+∠В+∠К=180° 73°+53,5°+∠К=180° ∠К=180°-126,5° ∠К=53,5°
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е. в треугольнике АВК АК/sin∠В=АВ/sin∠К, отсюда АВ=АК*sin∠К/sin∠В. Поскольку ∠К=∠В=53,5°, то и sin∠К=sin∠В, выходит, что sin∠К/sin∠В=1, а это значит АВ=АК*sin∠К/sin∠В АВ=АК=8 см.
АД=АК+ДК=8+12 см=20 см
Поскольку у любого параллелограмма противоположные стороны равны, значит АВ=СД=8 см ВС=АД=20 см.
Периметр параллелограмма = сумме всех его сторон, то есть Р=АВ+ВС+СД+АД=8+20+8+20=56 см.
ответ: ∠А=∠С=73°; ∠В=∠Д=107°; Периметр параллелограмма = 56 см.
Неверно, так как окружность можно описать около четырехугольника, сумма противолежащих углов которого равна 180°, а в ромбе противолежащие углы равны, и, если они не прямые (частный случай), то их сумма не равна 180°.
2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
Неверно. В любой треугольник можно вписать единственную окружность.
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.
Неверно. Центр описанной около треугольника окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Неверно. Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения его биссектрис.
ответ: все утверждения неверны.
Сумма всех углов параллелограмма равна 360°.
АВСД - параллелограмм, ∠А=∠С, ∠В=∠Д
∠А+∠В+∠С+∠Д=360°
Допустим, что ∠В=∠Д=107°
Значит
∠А+∠В+∠С+∠Д=360° и ∠В=∠Д, значит
∠А+107°+∠С+107°=360°
∠А+∠С=360°-214°
2∠А=146°
∠А=∠С=146°/2
∠А=∠С=73°.
Периметр параллелограмма = сумме всех его сторон.
Допустим, что ВК - биссектриса, а она делит угол пополам, значит ∠АВК=∠СВК=0,5*∠АВС=0,5*107°=53,5°.
Рассмотрим треугольник АВК, в нем
∠А=73°
∠В=53,5°.
АК=8 см
Сумма углов любого треугольника равна 180°, то есть
∠А+∠В+∠К=180°
73°+53,5°+∠К=180°
∠К=180°-126,5°
∠К=53,5°
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е. в треугольнике АВК
АК/sin∠В=АВ/sin∠К, отсюда
АВ=АК*sin∠К/sin∠В.
Поскольку ∠К=∠В=53,5°, то и sin∠К=sin∠В, выходит, что
sin∠К/sin∠В=1, а это значит
АВ=АК*sin∠К/sin∠В
АВ=АК=8 см.
АД=АК+ДК=8+12 см=20 см
Поскольку у любого параллелограмма противоположные стороны равны, значит
АВ=СД=8 см
ВС=АД=20 см.
Периметр параллелограмма = сумме всех его сторон, то есть
Р=АВ+ВС+СД+АД=8+20+8+20=56 см.
ответ: ∠А=∠С=73°;
∠В=∠Д=107°;
Периметр параллелограмма = 56 см.