В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные 4см и 5см. Найдите длину этой высоты и меньший катет данного треугольника.

task/26859237

|AB| =3 ;
|AD| =5 ;
α =∠(AB,AD)=180° -120° =60°.             * * * α₁ =∠(BA, AD)=120°. * * *

φ =∠(AB,AC) -?

Скалярное произведение двух векторов :
a*b = |a|*|b|*cos∠(a,b)   * * *a*a =  |a|* |a|*cos∠(a,a) =|a|²*cos0 =|a|²   * * *
AC =AB + AD ;
AC² =(AB +AD)² = AB² +AD²+2AB*AD =|AB|² +|AD|² +2*|AB|*|AD|*cosα=
3²+5²+2*3*5*cos60°=49 =7². ⇒  |AC| =7.
---
AB*AC =AB*(AB +AD) =AB*AB +AB*AD =|AB|²+|AB|*|AD|*cosα.
|AB|*|AC|*cos(∠(AB,AC) = |AB|*( |AB|+|AD|*cosα ) .
|AC|*cosφ = |AB|+|AD|*cosα .
7*cosφ  =3+5*1/2   ⇒  cosφ  =11 /14.
φ =arccos(11/14) .

ответ:  arccos(11/14).                 * * *   ≈ 38,2° * * *

Векторы AD и ВС равны, так как равны их модули (противоположные стороны параллелограмма) и они сонаправлены.
Тогда мы можем найти модуль вектора АПС по теореме косинусов.
|АС|=√(9+25+2*3*5*1/2) (так как угол АВС тупой) =7.
Тогда косинус угла ВАС равен из этой же теоремы
Cos(<BAC)= (a²+b²-c²)/(2ab) (угол образован сторонами а и b) или
Cos(<BAC)=(9+49-25).(2*3*7)=0,786 (примерно).
Угол по таблице равен 38,2°.
 
Или так: введем систему координат с точкой их пересечения в начале вектора А.
Тогда имеем точки: А(0;0), В(1,5;3√3/2), С(6,5;3√3/2)
Вектор AВ{1,5;3√3/2}, |AB| = 3.
вектор АС{6,5;3√3/2}, |AC|=√(42,25+6,75)= √49=7.
Угол между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на протзведение их модулей.
Cos(<BAC)= (Xab*Xac+Yab*Yac)/(|AB|*|AC|) или
Cos(<BAC)=(9,75+6,75)/(3*7) ≈ 0,786.
<BAC ≈ 38,2°