В прямоугольный треугольник вписана окружность. Известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а катеты равны 4 и 3 см. Найдите радиус окружности
Найдите сторону меньшего основания правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, если её боковое ребро равно 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 45°, а диагональ пирамиды равна 9 см. ---------- Пирамида правильная, следовательно, основания - квадраты и их плоскости параллельны. Сделаем и рассмотрим рисунок. Диагональное сечение пирамиды - равнобедренная трапеция АКЕС, основаниями которой служат диагонали оснований пирамиды. Диагональ КС=9 см, боковые стороны равны 8 см. Углы при большем основании равны 45° Высота КН перпендикулярна основанию и образует с боковой стороной равнобедренный прямоугольный треугольник АКН. КН=АН=АК*sin (45°)=4√2 см Из прямоугольного треугольника КНС по т.Пифагора найдем НС НС²=КС²-КН² Т.Пифагора каждый, изучающий стереометрию, знает, поэтому не буду приводить вычисления. НС=7 см Из Е опустим перпендикуляр ЕР. НС=НР+РС НР=КЕ РС=АН=47-4√2 см КЕ=7-4√2 см КЕ - диагональ меньшего основания. Его сторона КТ=КЕ*sin (45°)= [(7-4√2)*√2]:2=(7√2-8):2 КТ=(7√2-8):2 см
1) Объем призмы : V=S(ABCD)*H =6*8*(6cos60°) =6*8*6*(1/2) =144 (см ³). ° * 2) < A = 30° ; AC =5 ; <C =90° ;β =45° Объем пирамиды : V=1/3S(ABC)*H , H =SO , SO ┴ (ABC) [ S_ вершина пирамиды ] . Пусть < C =90° ; cos30 °= AC/AB *** α =<A =30° *** AB =AC/cos30 ° =5:√3/2 =10/√3 . BC =1/2*10/√3 = 5/√3 . (катет против угла 30°) ; S(ABC) =1/2*AC*BC =1/2*5* 5/√3 =25/(2√3) . Если все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом (данном случае под 45° то высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности здесь середину O гипотенузы AB) , AO =BO ; ΔAOS равнобедренный прямоугольный : <AOS=90° , <SOA = 45° . SO =AO . SO =AO =AB/2 =5/√3 ; V=1/3S(ABC)*H =1/3*25/(2√3)*5/√3 =125/18 (см³). V =125/18 см³.
3) S=π*R*L ; 65π =π*R*13 ; R=5 ;. H =√(13² -5²) =12; V=1/3*S*H ; V =πR²H/3 x³ = (π*5²*12)/3 =100π ; x =∛100π .
----------
Пирамида правильная, следовательно, основания - квадраты и их плоскости параллельны.
Сделаем и рассмотрим рисунок.
Диагональное сечение пирамиды - равнобедренная трапеция АКЕС, основаниями которой служат диагонали оснований пирамиды.
Диагональ КС=9 см, боковые стороны равны 8 см.
Углы при большем основании равны 45°
Высота КН перпендикулярна основанию и образует с боковой стороной равнобедренный прямоугольный треугольник АКН.
КН=АН=АК*sin (45°)=4√2 см
Из прямоугольного треугольника КНС по т.Пифагора найдем НС
НС²=КС²-КН²
Т.Пифагора каждый, изучающий стереометрию, знает, поэтому не буду приводить вычисления.
НС=7 см
Из Е опустим перпендикуляр ЕР.
НС=НР+РС
НР=КЕ
РС=АН=47-4√2 см
КЕ=7-4√2 см
КЕ - диагональ меньшего основания.
Его сторона
КТ=КЕ*sin (45°)= [(7-4√2)*√2]:2=(7√2-8):2
КТ=(7√2-8):2 см
V=S(ABCD)*H =6*8*(6cos60°) =6*8*6*(1/2) =144 (см ³). ° *
2) < A = 30° ; AC =5 ; <C =90° ;β =45°
Объем пирамиды :
V=1/3S(ABC)*H , H =SO , SO ┴ (ABC) [ S_ вершина пирамиды ] .
Пусть < C =90° ;
cos30 °= AC/AB *** α =<A =30° ***
AB =AC/cos30 ° =5:√3/2 =10/√3 .
BC =1/2*10/√3 = 5/√3 . (катет против угла 30°) ;
S(ABC) =1/2*AC*BC =1/2*5* 5/√3 =25/(2√3) .
Если все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом
(данном случае под 45° то высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности здесь середину O гипотенузы AB) ,
AO =BO ;
ΔAOS равнобедренный прямоугольный : <AOS=90° , <SOA = 45° .
SO =AO .
SO =AO =AB/2 =5/√3 ;
V=1/3S(ABC)*H =1/3*25/(2√3)*5/√3 =125/18 (см³).
V =125/18 см³.
3) S=π*R*L ;
65π =π*R*13 ;
R=5 ;.
H =√(13² -5²) =12;
V=1/3*S*H ;
V =πR²H/3
x³ = (π*5²*12)/3 =100π ;
x =∛100π .