В равнобедренном треугольнике АВС к основанию АС проведены два отрезка ВМ и ВК так, что углы АВМ и СВК равны. Докажите, что треугольник МВК равнобедренный. Найдите угол ВМК, если ВМА и ВКС равна 280°

1)  а) 62°, 62°, 56°

    б) 59°, 59°, 62°,

2)  а) 16°, 16, 148°

     б) 82°, 82°, 16°

2)

У равнобедренного треугольника углы при основании равны

поэтому всегда можно рассмотреть 2 случая:

1) ∠1=62°

а)если это угол при основании Δ, то ∠2=∠1=62°

по теореме о сумме трёх углов треугольника:∠1+∠2+∠3=180° →

∠3=180°-2*∠1=180°-124°=56°

б) если это угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника , то  

∠1+∠2+62°=180°

2∠1=180°-62°;

∠1=118°:2;

∠1=∠2=59°.

2)  а) ∠1=∠2=16°- углы при основании

∠3=180°-2*∠1=180°-32°=148°

б) ∠3=16°- угол, лежащий против основания

∠1=∠2=(180°-16°):2=164°:2=82°

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и  точкой пересечения делятся в отношении 2:1,  считая от вершины.

следовательно   ВМ:МК=2:1.

У ΔАМК и ΔАВМ одна и та же высота АН - перпендикуляр, проведенный из вершины А к прямой  ВК, содержащей стороны ВМ и МК этих треугольников.

Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты), следовательно:

Samk/Sabm=1/2   следовательно:

12/Sabm=1/2 следовательно:

24=Sabm.

Sabk=24см²+12см²=36см²

медиана ВК делит ΔАВС на два равновеликих т.е Sabk = Skbc.

⇒

Sabc=36*2=72см².  

ответ: 72см²