В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС один из углов равен 120 градусов. Из вершины С к продолжению боковой стороны проведена высота, равная 2,7 см. Найдите длину основания АС, выраженную в сантиметрах. В ответе запишите только число, без наименований.

Пусть имеем трапецию АВСД.
По заданию ВС = 4 см, АД = 8 см.
Площадь трапеции 21 см².

Находим высоту h трапеции.
h = S/Lср = 21/((4+8)/2) = 21/6 = 7/2.
Находим угол α между диагональю АС и стороной АД.
tg α = Н/(АД-((АД-ВС)/2))= (7/2)/(8-(8-4)/2) = 7/12.
α = arc tg (7/12) =  30,25644°.
Определяем величину половины угла А.
tg А = h/((АД-ВС)/2)) = (7/2)/((8-4)/2) = 7/4.
A = arc tg(7/4) =  60,25512°.
A/2 =  60,25512/2 =  30,12756°.

Отсюда видим, что биссектриса проходит ниже диагонали и пересекает боковую сторону.

1. Сторона прямоугольника равна 5 см, а диагональ - 13 см. Найдите площадь прямоугольника:

Сторона по теореме Пифагора равна √13² - 5² = 12 см.
Площадь равна 12 см•5см = 60 см.

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, а основание его на 2 см больше боковой стороны. Найдите площадь треугольника:

За х обозначим боковую сторону. Получаем уравнение:
х + х + 2 + х = 32
х = 10
Затем нужно провести высоту на основание. Она будет медианой. По теореме Пифагора её длина равна √10² - 6² = 8 см.
Площадь треугольника равна 1/2•12 см•8 см = 48 см.

3. Найдите стороны между меньшими сторонами сторонами треугольника, если стороны треугольника относятся как 9:14:15.

Обозначим за х одну часть. По обратной теореме Пифагора, если выполняется равенство a² + b² = c² (81x² + 144x² = 225x²). Значит, угол межлв меньшими сторонами равен 90°.

4. Периметр прямоугольного треугольника равен 12 см, а его гипотенуза на 2 больше меньшего катета. Найдите стороны этого треугольника:
Составим систему, обозначив за а и b катеты, за с - гипотенузу.
a + b + c = 12
a + 2 = c
a² + b² = c²

a = 3
b = 4
c = 5

5. Стороны прямоугольного треугольника выражаются целыми числами. Площадь квадрата со стороной, равной гипотерузе этого прямоугольного треугольника, относится к площади треугольника как 25/6.
Докажите, что данный треугольник является Египетским треугольником.

Наименьшая площадь квадрата равна 25. Тогда его сторона равна 5. Наименьшая площадь треугольника равна 6.
1/2ab = 6
a² + b² = 5

a = 3
b = 4
Значит, треугольник является Египетским, т.а. его стороны относятся как 3:4:5.