в равнобедренном треугольнике KLM, на основании KM указана точка P. От этой точки проведены перпендикуляры к двум боковым сторонам, соответственно PA И PB. Докажите, что LP - биссектриса треугольника KLM, если KA = MB

Пусть М - вершина, ОN - основание. Для простоты заменим их на обычные буквы (А, В, С). Итак, А - вершина, СВ - основание.
__________________
Теорема синусов:  
__________________
У нас не хватает sinA, а, значит, надо его найти.
__________________
sin²A + cos²A = 1 ⇒
sinA = 
__________________
Решим немного по-другому, чтобы корень извлечь.
sin²A = 1 - 0.8²
sinA = 
sinA = 
sinA = 0.6
__________________
Возвращаемся к теореме синусов: берем первое (А к синусу А), потому что есть синус А и третье (С к синусу С), потому что есть сторона С (сторона АВ)
 ⇒

Произведение крайних полно произведению средних, ⇒
СВ = 10*0,6
СВ = 6
_________________
Сверяемся с рисунок, наше СВ и есть искомое ON
_________________
ответ: 6
_______________________________________________________________
Если А - 45°, то уголВ тоже равен 45°, а С - 90. Следовательно, катеты равны. Первый 12, второй 12. По Пифагору
АВ =  (так проще)
АВ = 12+12
АВ = 24
ответ: 24

Треугольник прямоугольный, А - вершина, СВ - основание (ну, чтоб понятно было. С справа).

АВ = 15
sinA = cosB = 0.6 
АС, ВС = ?
____________________
sin²A + cos²A = 1 , ⇒ (следовательно)
cos²A = 1² - 0.6²  или
cosA =  =  = 2, cosA = 2
____________________
Теорема синусов:
(в нашем случае а = СВ, b = АС, с = АВ). Нужно взять только два, следовательно, берем первую дробь (потому что есть синус А) и последнюю, потому что есть сторона С.
____________________
(произведение крайних равно произведению средних), ⇒
СВ = 15*0,6 = 9
____________________
Дальше по теореме Пифагора:
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, с² = а² + b²
____________________
В нашем случае
15² = 9² + АС² , ⇒
АС² = 225 - 81
АС = 
АС = 12
____________________
ответ: СВ = 9; АС = 12.