В равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимноперпендикулярны известны боковая сторона 13 см и высота 12 см. Найти периметр трапеции.

50 cm

Объяснение:

Пусть ABCD- равнобедренная трапеция.

AD-большее основание. BC- меньшее основание. О- точка пересечения диагоналей АС и BD.  ∡AOD=90°

BH -высота трапеции=12 см.  К- точка пересечения высоты ВН и диагонали АС.

Найдем по т. Пифагора АН.

АН= sqrt(AB²-BH²)=sqrt(169-144)=5 см

Заметим ,что Δ AOD и ΔВОС равнобедренные и прямоугольные ( т.к. трапеция ABCD -равнобедренная )

Тогда. ∡CAD=∡BDA=45° = ∡ACB (∡CAD и ∡АСВ - накрест лежащие)

Тогда из треугольника АКН угол ∡АКН=90-45=45°=∡ВКС

Так как ∡ВНА=∡НВС=90°, то ΔКНА и ΔКВС подобны по 2-м углам

Тогда запишем пропорцию

АН/BC=KH/KB     (1)

Так как в ΔКНА угол ∡АКН=90°-∡КАН=90°-45°=45°, то треугольник КНА- равнобедренный, то АН=КН=5 см, тогда ВК=12-5=7 см

Тогда из пропорции (1) имеем ВС= 1*7=7 см

Так как трапеция ABCD - равнобедренная, то AD=BC+2*AH=7+2*5=17cm

Тогда периметр трапеции ABCD P(ABCD)= 17+7+13+13=50 cm