В равнобокой трапеции ABCD основание AB в два раза больше основания CD, угол CBA=60 градусам. MN — средняя линия трапеции, причём точка M лежит на стороне AD. Биссектриса угла DAB пересекает MN в точке L. MX — медиана треугольника AML, K — точка пересечения её продолжения с основанием AB трапеции. Докажите, что AK=1/4AB

Нужное сечение — треугольник AMB.

Рассмотрим треугольник ASC. Он равнобедренный, и угол SAC = углу SCA = 72°  Значит, угол МАС = 36° 

Рассмотрим теперь треугольник CAM. Сумма его углов 180°, значит, угол АМС = 72°. Следовательно, треугольник CAM равнобедренный, и поэтому AC=AM. Аналогично находим, что BM=BC.

Таким образом, треугольник AMB равносторонний, и его сторона AB одновременно является стороной основания. По условию составим уравнение  AB^2 (корень из 3) / 4 = 5 корень из 3откуда AB = корень из 20.

Трапеция в основании прямоугольная.

Её высота, она же боковая сторона, АС = ДЕ = 22 см

Грань АВТ наклонена к основанию на 60°, значит 

∠САТ = 60°

в ΔСАТ

∠СТА = 90 - 60 = 30°

Катет против угла в 30° в два раза меньше гипотенузы, 

АТ = 2*22 = 44 см

Высота пирамиды по теореме Пифагора

СТ = √(АТ² - АС²) = √(44² - 22²) = 22√3 см

S(CTA) = 1/2*СТ*СА = 1/2*22*22√3 = 242√3 см²

---

Плоскость ТДВ наклонена к плоскости основания по условию на 60°

Линия ДВ является линией пересечения плоскостей

∠СФТ является углом между плоскостями

∠СФТ = 60°

ФС = 22 см

---

в ΔСДФ

∠СДФ = 30°

∠СФД = 90°

СД = 2*ФС = 44 см

S(СДТ) = 1/2*СТ*СД = 1/2*22√3*44 = 484√3 см²

---

в ΔАВС

∠АВС = 15°

tg(15°) = 2-√3

ctg(15°) = 2+√3

АВ/АС = ctg(15°)

АВ = 22*(2+√3) см

АТ = 44 см

S(АВТ) = 1/2*АВ*АТ = 1/2*22*(2+√3)*44 = 968 + 484√3 см²

---

S(ДВТ) = S(ФВТ) - S(ФДТ) = S(АВТ) - S(ФДТ)

S(ФДТ) = 1/2*ФД*ФТ = 1/2*22√3*44 = 484√3 см²

S(ДВТ) = 968 + 484√3 - 484√3 = 968 см²

---

S(бок) = S(CTA)  + S(СДТ) + S(АВТ) + S(ДВТ)

S(бок) = 242√3 + 484√3 + 968 + 484√3 + 968 = 1936 + 1210√3 см²

Вот аналогичная задача с высотой трапеции 26